I perimetri orbitali

[M.Vaglieco]

Il perimetro di una orbita ellittica in astronomia è calcolato tramite la terza legge di Keplero, ma indicato giustamente come Circonferenza Orbitale (in Wikipedia) e dato dal raggio della Circonferenza in cui è inscritto l'ellisse rappresentante l'Orbita del Pianeta.
La formula è 2Rπ=2qπ (q>m semi-assi): in geometria invece il calcolo di tutto il perimetro di una Ellisse è dato da 2Rπ=(q+m)π, dove sono uguali i perimetri dei quadranti delle due figure ma non i valori intermedi.
La differenza tra i due calcoli è minima, ma il concetto è importante.
Domanda: c' è un motivo particolare perchè debba essere usato R=q anziché 2R=(q+m)?
Tale risposta è importante, perché nel caso si adottasse la soluzione geometrica ciò porterebbe alla modifica di certe considerazioni; in primo luogo alla correzione della terza legge di Keplero dandogli una valenza matematica esatta .
Spero in molte critiche costruttive. M.Vaglieco

[Enrico Corsaro]

Il motivo più ovvio che mi viene in mente per cui si assuma che q=m nel tuo caso, è che le orbite planetarie sono praticamente tutte (ad eccezione di quella di Mercurio) circolari con buona approssimazione (circa 1%). Francamente però non so dove tu abbia preso queste formule e non mi risulta siano corrette. La formula geometrica del perimetro di una ellisse di semiassi m e q è data da
P = pigreco * radice( 2 * q^2 * m^2), cioè la generalizzazione del caso della circonferenza.
In ogni caso, la terza legge di Keplero si avvale della misura del semiasse maggiore, e non del raggio, quindi non vedo come ciò che dici dovrebbe cambiarne la sua formulazione.
C'è anche da dire che comunque a prescindere, le leggi di Keplero si basano sull'approssimazione di massa planetaria trascurabile rispetto a quella Solare, e di interazioni tra pianeti trascurabili anch'esse. Sappiamo poi che nel dettaglio ciò non è verificato, poichè le orbite planetarie non sono perfettamente ellittiche ma hanno fluttuazioni dovute alle interazioni pianeta-satelliti e pianeta-pianeta. Globalmente comunque l'effetto è con buona approssimazione rappresentabile dalla terza Legge.

[M.Vaglieco]

I

• Giustamente tu parli di "approssimazione" ciò é valido nel calcolo, ma non accettabile matematicamente: altrimenti la I° legge di Keplero non avrebbe più senso, invece è delle sue Leggi che discutiamo, ne può essere diversamente.
• Per il Perimetro della Ellisse ci si deve rifare all'integrale Ellittico, vedi Allegato.
• Nella terza Legge il semi-asse maggiore è preso come raggio di una circonferenza: vedi allegato.
• Le (ultime) tue affermazioni sono a posteriori alle considerazione che ora propongo. I limiti di validità delle Leggi di Keplero che tu spieghi (anche in Wiki http://it.wikipedia.org/wiki/Leggi_di_Keplero) giustificano l'approssimazione, e non solo della Terza Legge, approssimazione che può essere ridimensionata con opportune considerazioni.
Converrai con me che le formule che gestiscono i calcoli devono basarsi sempre su Teoremi e Leggi matematiche. Ti ringrazio dell'interessamento e tengo a precisare che le cose che dico, sono osservazioni di discussione.M.Vaglieco
P.S. Spero di aver caricato bene l'allegato: qualche anima pietosa potrebbe darmi ragguagli?

[Enrico Corsaro]

Mi spiace ma non riesco a leggere le equazioni nel documento word.
Se riesci sarebbe meglio convertirlo in PDF e riallegarlo.
Dopo di che ne discutiamo più in dettaglio.

Per quanto riguarda la natura matematica delle leggi, non mi trovo d'accordo con quello che sostieni.
Il motivo è il seguente:
le leggi di Keplero non sono di natura leggi esclusivamente geometriche, ma sono leggi fisiche.
Il motivo di ciò è legato alla presenza del campo gravitazionale, che va a caratterizzare il moto di tipo centrale. La legge gravitazionale è di per sè una approssimazione, se pur molto precisa su scala del sistema solare. Le stesse leggi non sono altrimenti derivabili neanche analiticamente se non ti basi su alcune assunzioni basilari.

La derivazone delle leggi di Keplero deve inevitabilmente implicare l'assunzione di base che le masse planetarie siano trascurabili rispetto a quella del Sole. All'atto pratico, il sistema dei corpi in moto di rivoluzione intorno al Sole è un problema noto come problema ad N-corpi, ed è caotico, ovvero non ha una soluzione matematica esatta e la sua risoluzione richiede calcoli numerici molto articolati. La NASA calcola annualmente la correzione sulla posizione dei singoli pianeti ed è possibile ricostruire la distribuzione dei pianeti andando a ritroso nel tempo, fino ad anche 15 mila anni fa, con un errore di circa 4 giorni sul moto orbitale (a circa 15 mila di anni fa, il che è incredibimente accurato).

Concordo che le leggi fisiche si basano su leggi matematiche, ma fisica e matematica sono due cose diverse, e qui è la fisica che entra in gioco, con le sue approssimazioni.

Che nella terza legge di Keplero il semiasse sia preso come raggio di una conferenza è assolutamente sbagliato e non capisco da dove tu abbia ottenuto questa conclusione.
La terza legge ha un significato fisico profondo. I due semiassi dell'ellisse sono legati a quantità fisiche fondamentali nel sostenere il sistema orbitale, ovvero l'energia totale ed il momento angolare del sistema. In particolare, il semiasse maggiore è il solo legato esclusivamente all'energia del sistema (mentre il minore è legato anche al momento angolare), ed è proprio questa dipendenza il motivo per cui è il semiasse maggiore, e NON quello minore, che si lega direttamente al periodo orbitale.

Il problema di base qui secondo me è che cerchi di spiegare da un punto di vista unicamente matematico una legge che di per se è fisica e nasce come tale da approssimazioni imprescindibili.

[Red Hanuman]

Enrico C. , ho convertito io il file... ;)

10496

[naieh]

Ecco, ho di nuovo il problema di visualizzazione ): invece l'allegato di prima lo vedo senza problemi.

[Enrico Corsaro]

Ho letto il PDF, sono d'accordo sul fatto che l'equazione del perimetro è una approssimazione e che purtroppo non c'è una relazione esatta analiticamente. Leggendo in letteratura, sembra che l'approssimazione di Ramanujan sia tra le migliori disponibili, sempre in condizioni di semiassi non eccessivamente diversi fra loro (entro un fattore 3), il che va più che bene per il caso che si discute.

Dati due semiassi q ed m, il perimetro può essere dato come
P = pigreca * [ 3 * (q + m) - radice( (3q + m) * (q + 3m)) ]

Capisco la relazione biunivoca che menzioni tra due cerchi ed una ellisse e che la utilizzi per ricavare la terza legge a partire da una circonferenza. Questo mi può star bene in una versione semplificata della derivazione e come esercizio didattico, ma non è il modo in cui si deriva la terza legge.
Per farlo in modo rigoroso, ricorriamo alla meccanica classica. Bisogna partire prima dal calcolo delle orbite (prima legge), tramite il potenziale efficace del sistema centrale, poi si utilizza il risultato della seconda legge, ovvero la costanza della velocità areolare, proporzionale al momento angolare del sistema. Combinando il risultato delle prime due leggi si trova facilmente la proporzionalità costante tra periodo e semiasse maggiore. Non c'è nessuna assunzione di circolarità qui, nè si tratta di una approssimazione, le orbite sono realmente ellittiche. Inoltre, il calcolo del perimetro in questo caso non entra in gioco. Se vuoi discutere le equazioni in dettaglio, fammi sapere.

[M.Vaglieco]

E' mia convinzione che a ogni «modello» fisico corrisponda un «modello» matematico ma non che ogni modello matematico rappresenti un modello fisico.

Il problema di base qui secondo me è che cerchi di spiegare da un punto di vista unicamente matematico una legge che di per se è fisica e nasce come tale da approssimazioni imprescindibili.
Se tutto fosse immobile non ci sarebbe nessuna approssimazione; determinare una «approssimazione» è il presentare due aspetti diversi dello stesso fenomeno: il sole stava quà adesso sta là, "aspetto fisico", "misuro i due fenomeni" per cercare di capire cosa è successo "aspetto matematico".
Enrico ,purtroppo non riesco (e non posso) seguirti: Le tue considerazioni sono molto interessanti ma rivestono un aspetto filosofico, su cui si può discutere, ma è tutto un altro campo. Il rigore della matematica (e quindi della geometria, che è un suo strumento) applicato alla fenomenologia ha dato luogo a idee razionali «filosofiche» nel tentativo di giustificare non solo il mondo che ci circonda ma noi stessi in questo mondo.
La tua osservazione:

Che nella terza legge di Keplero il semiasse sia preso come raggio di una circonferenza è assolutamente sbagliato. si rifà a questo tuo modo di scindere realtà (presunta tale = sono perfettamente d'accordo) e concetti personali: per qualche altro che ci legge, dico che l'espressione (2Rπ) è per convenzione (se vuoi) la misura di una circonferenza, qualunque sia la costante R, ma che nulla toglie allo stupore di un fenomeno «circolare». Il T che compare nella formula è il tempo, che non ha alcun riscontro fisico: in realtà non esiste se non per convenzione, e su questo il tuo discorso andrebbe bene.
Sinceramente non so cosa dirti: mi viene in mente il filosofo greco Pirrone e la sua acatalepsia, che implica l'impossibilità della conoscenza delle cose nella loro intima natura.
Ciò che dici è comunque da pensare e approfondire ma in altra sede. Auguri.
Qualcuno può dirmi se in HTML è possibile scrivere "le discussioni" in un linguaggio matem. come LaTex. Grazie M.Vaglieco

[M.Vaglieco]

Ho letto il PDF, sono d'accordo sul fatto che l'equazione del perimetro è una approssimazione e che purtroppo non c'è una relazione esatta analiticamente. Leggendo in letteratura, sembra che l'approssimazione di Ramanujan sia tra le migliori disponibili, sempre in condizioni di semiassi non eccessivamente diversi fra loro (entro un fattore 3), il che va più che bene per il caso che si discute.

Dati due semiassi q ed m, il perimetro può essere dato come
P = pigreca * [ 3 * (q + m) - radice( (3a + b) * (a + 3b)) ]

Capisco la relazione biunivoca che menzioni tra due cerchi ed una ellisse e che la utilizzi per ricavare la terza legge a partire da una circonferenza. Questo mi può star bene in una versione semplificata della derivazione e come esercizio didattico, ma non è il modo in cui si deriva la terza legge.
Per farlo in modo rigoroso, ricorriamo alla meccanica classica. Bisogna partire prima dal calcolo delle orbite (prima legge), tramite il potenziale efficace del sistema centrale, poi si utilizza il risultato della seconda legge, ovvero la costanza della velocità areolare, proporzionale al momento angolare del sistema. Combinando il risultato delle prime due leggi si trova facilmente la proporzionalità costante tra periodo e semiasse maggiore. Non c'è nessuna assunzione di circolarità qui, nè si tratta di una approssimazione, le orbite sono realmente ellittiche. Inoltre, il calcolo del perimetro in questo caso non entra in gioco. Se vuoi discutere le equazioni in dettaglio, fammi sapere.
Questo lo capisco meglio del precedente discorso. Enrico tra un risposta e l'altra devi avere un poco di pazienza, altrimenti non riesco a seguirti.

[Enrico Corsaro]

Cerco di fare un pò chiarezza sul mio discorso.
Sono perfettamente d'accordo che ogni modello fisico si basa su un modello matematico, e che non vale il viceversa, su questo non ci sono dubbi.
Sottolineo che le mie considerazioni non sono filosofiche, ma fisiche, ed è proprio di fisica che mi occupo per professione, non di filosofia o speculazione matematica.

Detto ciò, capisco che tu voglia trovare un significato matematico profondo nella terza legge di Keplero poichè sei interessato esclusivamente all'aspetto matematico, ma per questo particolare caso c'è un aspetto fondamentale da considerare: la terza legge di Keplero, come le altre due leggi, nasce esclusivamente dal tipo di moto preso in considerazione, detto moto centrale. Moto centrale non significa che la conica descritta dal moto sia una circonferenza, ma più in generale che sia una conica con ellitticità minore di 1, ovvero una ellisse (e nel caso degenere una circonferenza). Il moto centrale ha origine per la natura del campo gravitazionale (un campo di tipo centrale ovvero) e il tipo di moto ha senso di essere descritto solo in funzione del tempo, astratto o reale che sia. Se rimuovessi il tempo dal sistema e cercassi di analizzare matematicamente il modello, il modello fisico non avrebbe più modo di esistere, e di conseguenza anche quello matematico.

A prescindere comunque dalla considerazione temporale, il modello matematico-geometrico di riferimento è esclusivamente quello dell'ellisse, e null'altro. Ed è questo l'aspetto matematico rilevante, il fatto che un moto centrale possa essere descritto in prima approssimazione da un semplice modello geometrico, molto ben conosciuto.

Spero però di non deludere le tue aspettative dicendoti che non c'è un significato matematico profondo nella terza legge. In questo senso la trattazione matematica è relativamente semplice e tale rimane per questo tipo di modello. Se poi vogliamo studiare la matematica dei parametri orbitali nel caso reale, la situazione si fa enormemente più complessa poichè le vere orbite non sono banalmente ellissi, ma sono soggette a modulazioni provocate da un sistema a multi corpi, e sono impossibili da risolvere in modo analitico esatto. Ed è per questo che il modello matematico dell'ellisse su ordini di precisione superiori qui non ha più utilità, nè esiste più un modello matematico ben definito, se non quello caotico.

Quello che cerco di farti capire è che ciò che invece fa la differenza per le leggi di Keplero, e ciò che ha un significato profondo, è la loro caratterizzazione fisica, non quella matematica, soprattutto per la seconda e terza legge (mentre la prima è più legata alla natura geometrica).

[M.Vaglieco]

Questo lo capisco meglio del precedente discorso. Enrico tra un risposta e l'altra devi avere un poco di pazienza, altrimenti non riesco a seguirti.

Teniamo presente un dato.
Se stringiamo un anello su due poli questi si allarga a formare (più o meno ovviamente) una ellisse: continuando a stringere continuerà ad allargarsi: due fatti importanti si notano, che l'area dell'anello tende a zero, mentre il suo perimetro rimane costante: dunque esiste una circonferenza che ha lo stesso perimetro di una ellisse.
Nell'allegato precedente abbiamo messo in relazione i valori q>m presi come semi-assi di una ellisse e i valori R>r, cioè R=(q+m)/2 tale risultato è confermato dal valore geometrico dell'integrale ellittico. Dunque una ellisse, astronomica o no, ha perimetro uguale a quello di una ben determinata circonferenza; che poi per calcoli successivi si abbiano delle "approssimazione" per altre cause fisiche, viene dopo ed è da investigare.
Prima di fare dei calcoli bisogna avere dei punti fermi di riferimento e non il contrario.
Per la terza legge di Keplero, anche su Wiki (che non è verità assoluta ma solo punto di riferimento) T^2/a^3=K e quindi se il corpo descrivesse una circonferenza anziché una ellisse avremo a=R e la formula relativa indicata nell'allegato; comunque se scrivo (2aπ) a è il semi asse-maggiore dell'orbita preso come «equivalente al raggio medio» (in Wiki è più chiaro), ma anche R=(q+m)/2 può essere considerato un raggio medio equivalente.
Enrico, ti prego attieniti alle domande, altrimenti finiamo con lo scrivere un trattato cosa che qui non serve a nessuno.
Per quella relativa ai perimetri orbitali: tu che sei bravo nelle equazioni rifai il calcolo come dici tu e poi li rifai come ho indicato io e li confronti. E' sulla base di questo confronto che si può discutere e stabilire quale sia più preciso.
Lo stesso vale per la stessa Terza Legge.
Non sono messi in dubbio i calcoli derivanti dalle considerazioni fisiche (che poi sono le leggi di Newton) anzi è con essi che si può avere la conferma delle considerazioni che faccio.
E poi l'ultima cosa: dammi una risposta o domanda per volta, altrimenti annego. Ciao e grazie. M.Vaglieco

10529

[M.Vaglieco]

Cerco di fare un pò chiarezza sul mio discorso.
Sono perfettamente d'accordo che ogni modello fisico si basa su un modello matematico, e che non vale il viceversa, su questo non ci sono dubbi...........

Presupposto di tutto sono le considerazioni fisiche di Massa, Distanza e Tempo e che i Pianeti hanno traiettoria rispetto al Sole secondo ellissi (e non solo rispetto al Sole, dico io).
La mia domanda nella discussione è di sostituire a una circonferenza di riferimento di raggio q (semi-asse-maggiore), una circonferenza di riferimento con raggio (q+m)/2, essendo questa giustificata dalle considerazioni che abbiamo discusso finora; essa non muove nessun valore dei dati fisici indicati sopra.
Una proposta implica di essere accettata o respinta, nel nostro caso, se accettata essa allora può essere applicata anche alla Terza Legge: le considerazioni fisiche, Enrico, non entrano in questo, saranno i calcoli a modificarsi, variando quella «approssimazione» di cui tu parli.
Nell' Allegato la Tabella indica una differenza e se questa riduce il margine di «approssimazione» si può considerare plausibile, e questo dovreste dirlo tu, Enrico, e tutti gli altri, facendo le dovute considerazioni. Ciao a tutti. M.Vaglieco
10538

[Enrico Corsaro]

OK credo di capire il tuo discorso e provo a risponderti a seguire, mi dirai poi se ritieni che la mia risposta sia comprensibile o meno.

Nel file che hai allegato fornisci valori attuali da letteratura (a quanto ho capito calcolati secondo l'integrale ellittico di 2a specie) e valori ricalcolati da te secondo l'approssimazione che tu suggerisci, ovvero quella di un orbita circolare con circonferenza data dalla media dei due semiassi dell'ellisse, è corretto?
Se è così, lasciando stare magari il caso di Plutone che è diverso da quelli dei pianeti, le deviazioni relative tra i due calcoli che tu riporti (in unità di milioni di km) corrispondono a fattori tutti ben al di sotto dell'1%, il che mostra che l'approssimazione che proponi ha margini di errore dell'ordine della decina di migliaia di km, un valore abbastanza buono per un calcolo di base annuale, ma non sufficientemente preciso per calcoli su lungo periodo.

Facendo un rapido calcolo sulla propagazione dell'errore secondo la terza legge, nel giro di 10 anni ad esempio le tue predizioni sulla posizione del pianeta accumulerebbero una deviazione sul periodo dell'ordine di 1 giorno. Anche se è una deviazione piccola, non è possibile usare questo modello per ricostruire i parametri orbitali su scale di migliaia di anni. Se il tuo intento è comunque quello di approssimare il modello su base annua, la trattazione circolare sembra essere molto buona, tranne che per Plutone, dove l'orbita devia molto da una circonferenza rispetto invece a quelle dei pianeti ordinari.

Spero di aver fatto un discorso comprensibile e che tu ci possa riflettere su con calma.

[M.Vaglieco]

OK credo di capire il tuo discorso e provo a risponderti a seguire, mi dirai poi se ritieni che la mia risposta sia comprensibile o meno.

Mettiamo intanto un punto fermo: il perimetro di una ellisse si calcola con la formula (q+m)π con q>m semi-assi, che non vale per valori intermedi ai quadranti: a prescindere da qualsiasi considerazione astronomica.
Ora nel nostro caso i valori ricalcolati sono inferiori a quelli Tabellari indicati (per questi vedi Wiki, dove per la Terra è dato un valore totalmente errato).
Per capire se i valori ricalcolati sono vantaggiosi per il calcolo bisogna sapere quali dei due valori, ricalcolati e Tabellari, si approssimano di più al valore preso come campione di riferimento: questo lo dovresti indicare te Enrico o qualcuno di voi, per questo ho posto la discussione.
Se ci rifacciamo al grafico del primo allegato, a logica, dovrebbe essere più giusto quello dato dal calcolo del perimetro ellittico, in quanto inferiore e quindi dentro la circonferenza di riferimento ma non dentro l'ellisse.
Analogamente a livello di ragionamento la terza Legge di K. ci può fornire una indicazione, per questo che l'ho citata.
Se T^2/R^3=Costante, per R=q diventa T^2/q^3=Costante, ma se pensiamo che in pratica, perdiamo sul tempo un tempuscolo Δt, è come se alla fine scrivessimo (T+Δt)^2/q^3; mentre lo stesso risultato si otterrebbe diminuendo il denominatore R nella nostra espressione, facendo proprio T^2/[(q+m)/2)]^3; ricordiamo che abbiamo indicato R=(q+m)/2, cioè il denominatore diventa (q+m)/2<q giusto q>m. Allora cosa varierebbe? Varierebbe la velocità, infatti nella nuova espressione V = radice 2GM/(q+m)=(q+m)π/T farebbe variare solo la V = Velocità Media.
Una migliore valutazione dovreste farla Voi che siete appassionati di Astronomia e avete sottomano i vari dati. Io sono convinto delle mie osservazioni, ma una convinzione non è una verità, ma se lo fosse sarebbe un punto a favore di tutti. Avremmo comunque il vantaggio di averla discussa.

[Enrico Corsaro]

Ciao,

ho controllato nell'archivio della NASA e questi sono i valori riportati per i perimetri orbitali

Mercury 359,976,856 km
Venus 679,892,378 km
Earth 939,887,974 km
Mars 1,429,085,052 km
Jupiter 4,887,595,931 km
Saturn 8,957,504,604 km
Uranus 18,026,802,831 km
Neptune 28,263,736,967 km

Purtroppo non riesco a trovare il tipo di calcolo che hanno adottato. I valori si avvicinano di più a quelli riportati da te con l'integrale ellittico ma si discostano sempre più da entrambi i valori da te riportati (sia integrale ellittico che circonferenza con raggio dalla media dei semiassi) all'aumentare del perimetro orbitale.

[lucianob]

Ciao,

ho controllato nell'archivio della NASA e questi sono i valori riportati per i perimetri orbitali

Mercury 359,976,856 km
Venus 679,892,378 km
Earth 939,887,974 km
Mars 1,429,085,052 km
Jupiter 4,887,595,931 km
Saturn 8,957,504,604 km
Uranus 18,026,802,831 km
Neptune 28,263,736,967 km

Purtroppo non riesco a trovare il tipo di calcolo che hanno adottato. I valori si avvicinano di più a quelli riportati da te con l'integrale ellittico ma si discostano sempre più da entrambi i valori da te riportati (sia integrale ellittico che circonferenza con raggio dalla media dei semiassi) all'aumentare del perimetro orbitale.

Ciao Enrico C. hai provato a controllare sul mio foglio e vedere che e sicuramente piu preciso ? .
Sono dietro a migliorie fattive del foglio excel, e variazioni di aggiornamenti pesanti. Io con gli integrali ho seri problemi, ma a proposito mi dai il link della NASA dove hai tratto questi valori ?. Rendilo edotto che sono curioso .:shock:
Gia' a me' Mercurio per il 01/01/2000 JD2451545,0 TeT1,00000000- Ottengo 358.083.726,322 km.
Salutoni.

Dando volto alla espressione Perimetro Orbitale
(2*PI.GRECO()* a *((1-(0,5*e)^2)-(1/3)*(0,5*3/4*e^2)))
e = Ellisse orbitale
a = semiasse orbitale.
Espressione trovata su un algoritmo di calcolo datato J.Meeus. e molto discussa a suo tempo , ma che si avvicinava a quello piu reale. Dando almeno il 98% di correttezza
=========================
PS. x M.Vaglieco
Gentilmente potrebbe traslare l'integrale del pdf (in excel) , perché non so come farlo o inserirlo per un controllo --lo verifico con le tavole dinamiche mie che per me sono discrete per lungo tempo ? o qualcuno riesce a farlo ?. Grazie. [Gli integrali sono ostici per me come le equazioni differenziali e altre 2 cose LOL)
.......Rileggendo il suo post ......


1]----Il perimetro di una orbita ellittica in astronomia è calcolato tramite la terza legge di Keplero, ma indicato giustamente come Circonferenza Orbitale (in Wikipedia) e dato dal raggio della Circonferenza in cui è inscritto l'ellisse rappresentante l'Orbita del Pianeta.
....................
.

1R ---Il Perimetro di un'orbita ellitica diciamo che non e' calcolato dalla 3a Legge di Keplero, visto che parla del Periodi di Rivoluzione, ricorda forse male ma gliela cito .
""""I quadrati dei periodi P di rivoluzione dei pianeti attorno al Sole sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite (1618). P² = k a³ """"
Si riferisce ai periodi di rivoluzione in funzione della distanza del corpo e della costante gravitazionale k.- Poi ricorretta mi pare da qualcuno 300 anni dopo.
l'altra corretta, una equazione di campo quella menzionata da A.Einstein.
------------------Descrivendo alla fine che, per deduzione logica le orbite non sono REGOLARI ma ELLITICHE, inerenti il nostro SS.- .
Semmai la 1a : Legge di Keplero:
""""l'orbita di un corpo celeste è un ellisse, dove il sole occupa uno dei due fuochi. """" parla appunto della tipologia e morfologia orbitale.
----------
---I parametri sono
a= Semiasse maggiore orbitale, valore variabile e seguito da polinomiali, + variazioni di moto orbitali.
e= eccentricità dell'orbita, definito da polinomiali e variazioni di moto
a cui si trova il
q= perielio dell'orbita =(a*(1-e))
Q= Afelio dell'orbita. =(a*(1+e))
Per quanto riguarda Mercurio (PRESO AD ESEMPIO)-lei deve conoscere quanto sono i polinomiali
Le porgo un esempio, espresso nel mio foglio di calcolo che trova qui sul forum in Meccanica Celeste.
>e =0,20563661+(0,000020406*P70)-(0,00000003*P70)
ove P70 = Te2k [corrispondente al valore TDT tempo dinamico terrestre (ex Te = tempo effemeridi)riferito al Te2k-(J2000,0)-JD2 =D
Anche questi sono da inserire corretti per il calcolo !!!! ANZI !
Anche questa formula Perimetro Orbitale o algoritmo non e' preciso, e occorrerebbero anche tenere conto del moto complesso di tutti i corpi del sistema solare, con le loro perturbazioni nei confronti del corpo a cui vuole calcolare il P orbitale.


PS II M.Vaglieco

Mettiamo intanto un punto fermo: il perimetro di una ellisse si calcola con la formula (q+m)π con q>m semi-assi, che non vale per valori intermedi ai quadranti: a prescindere da qualsiasi considerazione astronomica.
Scusi ma abbiamo moto planetario o geometria piana ? A.Einstein aveva corretto la formula di meccanica Newtoniana per porla su una equazione piu complessa, almeno così scrisse a suo tempo. A prescindere proprio appunto A PRESCINDERE nel suo moto ci sono considerazioni gravitazionali, da tenere conto . Con il quale il moto orbitale non e' semplice ma perturbato-
Ed inoltre e SEMIASSE e non "semi-assi" .- ok che non e moto uniforme, ma un moto descritto sulla legge delle aree. Inerente la 3a legge di keplero.
oO. Cosa sono q e m ? perielio e massa ? o perielio e semi-assi ?
Grazie
PS Wikipedia non e' assoluto, ma un Riferimento . Se usassi wiki per i calcoli non otterrei neppure il 30% di precisione sulle tavole di calcolo. Inoltre LE consiglio caldamente di andarsi a vedere le The Planetary and Lunar Ephemerides DE431 Theory and abosolute actually used. !!! Che la NASA usa e per la quale parte delle costanti usate le uso anche io.

:) Saluti

Se usassimo le sigle standard sarebbe meglio e si capisce prima.
e= ellisse dell'orbita
a= semiasse maggiore orbitale
q= Perielio-
Q= Afelio-
b= Semiasse minore dell'orbita
c= semidistanza focale (d/fuochi)
Qq = Afelio + Perielio
P = perimetro dell'orbita
epsilon = ellitticità

[lucianob]

Mi sono dimenticato di una cosa importante.
Ho scaricato il pdf di "M.Vaglieco" e notando la citazione tratta dal libro "Il Moto dei Corpi Celesti" di A.Leone di Muzio editore del 1982 -
Ho ricordato di averlo questo magnifico, e ho voluto controllare una cosa, visto che e stato uno dei miei primi libri (Lire .11.000 ), assieme a Relatività Generale & Ristretta, con Cosmologia Universale.
Ma non ho trovato la formula 2Rpi = (q + m)*pi
se mi dai la pagina gentilmente, volevo controllare anche altre cose .
Non trovo l'equazione differenziale. che hai menzionato nel tuo pdf.
Grazie

cordiali saluti.

[M.Vaglieco]

Ciao,
ho controllato nell'archivio della NASA e questi sono i valori riportati per i perimetri orbitali.........

Ho posto un Allegato, dove ho riassunto quello che è stato detto sino a questo punto.
I valori che fornisce la Nasa o da chiunque altro dedotto, difficilmente sono o possono essere uguali: poichè la formula che li calcola è 2qπ , che dipende esclusivamente da q semi asse maggiore e poiché questo ha un valore più o meno preciso in dipendenza da come è fatto il rilevamento, la formula dà valori leggermente diversi, considerando anche il calcolo dei decimali. Per fare una valutazione bisogna usare lo stesso semi asse maggiore.
A Enrico C. e a tutti.
Credo che continuare la discussione non possa dare nessun frutto.
La domanda a cui vorrei che voi (e non solo Enrico C ) mi rispondeste, a prescindere dai calcoli della Nasa, che sappiamo benissimo fare da noi con la formula classica 2qπ e che sono anche su Wiki.
La domanda (vedere l'Allegato3) è:
Per il calcolo del perimetro orbitale trovate sia meglio usare la nuova formula 2Rπ=(q+m)π oppure 2Rπ=2qπ , seppure la differenza tra i due calcoli non è molta?
Se voi vorreste calcolare il perimetro vi servireste della formula proposta, perché ritenuta più giusta?
Se avete ponderato per il NO chiedo:
a) sono i presupposti errati o dubbi? allora la discussione va fatta in Geometria analitica.
b) oppure la formula è giusta geometricamente, ma non applicabile all' astronomia?
Se invece con la vostra logica e indagine ammettete il SI per tale calcolo, allora è giocoforza applicare la formula anche alla terza legge di Keplero, mi sembra scontato, e a prescindere che facciate o no tali calcoli, saprete che c'è una diversa puntualizzazione per il perimetro e per la Legge.

[M.Vaglieco]

Mi sono dimenticato di una cosa importante........
La frase da te citata, più che infelice è errata; va così corretta:
1]----Il perimetro di una orbita ellittica in astronomia CALCOLA la terza legge di Keplero, ma E' INDICATA come Circonferenza Orbitale (in Wikipedia) e data dal raggio della Circonferenza in cui è inscritto l'ellisse rappresentante l'Orbita del Pianeta.
E' il Perimetro che permette il calcolo della Legge, non il contrario.
Sto preparando la risposta: abbi fede.
Circa la tua richiesta dell' integrale in Excel: debbo scrivere la formula in un foglio Excel e te lo invio?

[Enrico Corsaro]

Ciao Enrico C. hai provato a controllare sul mio foglio e vedere che e sicuramente piu preciso ? .
Sono dietro a migliorie fattive del foglio excel, e variazioni di aggiornamenti pesanti. Io con gli integrali ho seri problemi, ma a proposito mi dai il link della NASA dove hai tratto questi valori ?. Rendilo edotto che sono curioso .:shock:


Ciao lucianob, li trovi a questo (http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/) link.

[Enrico Corsaro]

Per il calcolo del perimetro orbitale trovate sia meglio usare la nuova formula 2Rπ=(q+m)π oppure 2Rπ=2qπ , seppure la differenza tra i due calcoli non è molta?
Se voi vorreste calcolare il perimetro vi servireste della formula proposta, perché ritenuta più giusta?
Se avete ponderato per il NO chiedo:
a) sono i presupposti errati o dubbi? allora la discussione va fatta in Geometria analitica.
b) oppure la formula è giusta geometricamente, ma non applicabile all' astronomia?
Se invece con la vostra logica e indagine ammettete il SI per tale calcolo, allora è giocoforza applicare la formula anche alla terza legge di Keplero, mi sembra scontato, e a prescindere che facciate o no tali calcoli, saprete che c'è una diversa puntualizzazione per il perimetro e per la Legge.

Lasciamo stare per il momento la terza legge di Keplero, che in questo discorso sta solo creando confusione. Visto che tu stesso suggerisci di trattare un argomento per volta, concentriamoci sul primo aspetto, ovvero il calcolo del perimetro orbitale.
Tu proponi due formule, una nuova ed una più classica, le quali forniscono risultati poco differenti fra loro. Vuoi capire se siamo d'accordo con la logica con cui hai dedotto la formula 2Rπ=(q+m)π, da quello che fin'ora hai continuato a sostenere almeno.

Da un punto di vista geometrico sai bene che nessuna delle due è corretta, nè esatta, e che anzi una formula esatta per il calcolo del perimetro di una ellisse NON esiste. Il motivo per cui le due formule che proponi forniscono valori simili è legato al fatto che le orbite planetarie prese in considerazione sono molto poco eccentriche, sostanzialmente quasi circolari. Quindi da un punto di vista prettamente matematico nessuna delle due formule è giusta e a quanto ho capito, è proprio l'aspetto matematico-geometrico quello a cui sei interessato. In termini di approssimazione e per una versione semplificata però, il tuo ragionamento è sicuramente valido, ma per quantificare quanto sia accurata la formula da te proposta occorrerebbe confrontare con più casi di ellisse, con diverse eccentricità e semiassi e con un metodo di riferimento che fornisca le stime più accurate possibili (e non parlo dell'approssimazione al cerchio, ma del calcolo integrale numerico del perimetro orbitale o con una stima dalle serie numeriche con un numero sufficientemente elevato di addendi). Non penso ci sia altro su cui dibattere in questo senso, ed è un calcolo che puoi tranquillamente fare da te in un foglio Excel.

Da un punto di vista astronomico invece, come ti ho già scritto, una differenza di calcolo dell'ordine della decina di migliaia di km fra le due formule da te citate va bene come approssimazione su base annua, ma non oltre. Se paragoni il calcolo con i valori della NASA, che NON sono derivati dal semplice 2qπ (e questo te lo dico con certezza), le deviazioni crescono al crescere del semiasse maggiore, come intuitivamente ci si aspetta. Se assumi che i valori della NASA siano sufficientemente accurati (e non ho motivo di credere diversamente) allora è evidente che entrambe le formule che proponi sono inadeguate per un calcolo accurato del perimetro orbitale planetario. E questo perchè comunque le due formule che menzioni sono formule per calcoli approssimati e semplificati. Nella realtà infatti, la situazione è ben diversa, ma ho capito che questo caso non è di tuo interesse, pertanto non ha senso parlare in questa sede di considerazioni poste da un punto di vista astronomico.

Infine, per la terza legge, non ha senso per me parlarne da un punto di vista unicamente geometrico quando il tempo non è di per sè un concetto geometrico ma fisico. La terza legge esiste perchè 1) le orbite sono coniche ad eccentricità minore di uno (modello geometrico), e perchè 2) il momento angolare si conserva, e questo è e rimane un discorso esclusivamente fisico (come già ben ribadito in precedenza).

Questo dovrebbe rispondere al tuo problema e almeno dal mio canto, non ho altro da aggiungere ;). Auguri.

[lucianob]

Salve M.Vaglieco (o ciao :) ), ciao Enrico C., (concordo con quanto hai scritto)
Questo pezzo e' stato tratto da una conferenza tenuta il 23/03/2003 agli insegnanti di scienze di Anne Arundel County Maryland. -
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" ...... Le leggi sono state formulate tra il 1609 e il 1619, e sono (come vengono in genere espresse):
............................
Kepler's three laws state: [Solving kepler's equation over three centuries .] CITA TRADOTTO!!
1. I pianeti si muovono intorno al Sole lungo ellissi, di cui il Sole occupa uno dei fuochi.
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2. Ogni pianeta si muove intorno al Sole o al suo centro di gravitazione, ............ and the line connecting the sun with the planet sweeps out equal areas in equal times.
----------------
3. Il quadrato del Periodo Orbitale di un pianeta è proporzionale al cubo (terza potenza) della sua distanza media dal Sole
(o, in altre parole, del "semiasse maggiore" dell'ellisse, metà
della somma della massima e della minima distanza dal Sole).
Se due pianeti (o due satelliti della Terra, che è lo stessso) hanno periodi orbitali di T1 e T2 giorni, e distanze medie dal Sole (o semiassi maggiori) A1 e A2, allora la formula che esprime la terza legge è

(T1/T2)² = (A1/A2)³ ovvero (1618). P² = k*a³
---------------- ........................ {*omissis conferenza end*}===
Difatti era evidenziato anche nel suo primo post.- Andando a incasinarsi con :)

M.Vaglieco - (in Wiki è più chiaro), ma anche R=(q+m)/2 può essere considerato un raggio medio equivalente.
Il raggio medio per che cosa ?
Parliamo di semiasse maggiore, eccentricità dell'orbita.
Il perimetro e una cosa e i tempi di Periodo Orbitale se pur paradossalmente simili per concetto altro, tenendo conto anche della costante gravitazionale... Mi sembra non inerente, ma considero la variazione del semiasse, la variabilita' del Periodo indi cambia il Perimetro dell'Orbita descritto. !!
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Perche' parla di perimetri orbitali che NON C'ENTRANO NULLA con la 3a Legge di Keplero ??? Che parla di PERIODI ORBITALI ?.
Se mi permette una critica costruttiva, quando si scrive CITANDO =>
2Rπ=(q+m)π oppure 2Rπ=2qπ che sono ?? . a cosa rimandano ?
Non mi ha neppure risposto quando ho inserito le sigle che comunemente vengono usati i tutti i documenti maggiori di aRviX.
Messi cosi' a me' non indicano nulla, neppure per chi legge o chi si avvicina a capire, si spiegano anche le sigle, (ammetto che anche io qualche volta salto, ma e un'obbligo per chi deve capire)- la mia e critica costruttiva ci mancherebbe altro... :)
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M.Vaglieco - La domanda a cui vorrei che voi (e non solo Enrico C ) mi rispondeste, a prescindere dai calcoli della Nasa, che sappiamo benissimo fare da noi con la formula classica 2qπ e che sono anche su Wiki.
Possiamo anche fare i calcoli noi per "CURIOSITY", ma non sarebbero mai come quelli che effettua il JPL .. pardon (Jet Propulsion Laboratory) o il Caltech o le lunghe teorie passate di VSOP87 e le nuove DE431. Formula Classica " 2qπ" ripeto che non la trovo corretta incompleta e si riporta all'orbita circolare se q lei intende a (semi assi) .. che e simile a 2*pi.greco*raggio - A cui vedo a risposto Enrico C e che io non avrei scritto meglio.

J.Meeus mise nei suoi libri parlando anche dei Perimetri Orbitali, se ne parla anche su (su Pratical Astronomy, Mathematical.Astronomy, Solving kepler's equation over three centuries. [che raccomando di aprire] -
Il post dei Perimetri Orbitali e' bellissimo, ma non si devono confondere le Leggi di Keplero, e il Periodo dell'Orbita, che poi ridescritta da Newton, rielaborate da A.Einstein e via dicendo ......... Poi ripeto Wiki per me' non indica nulla anche se lo guardo anche io, perché e anche pieno di molte cose belle ma incompleti. Ed anche errori fino a poco tempo fà, ogni tanto qualcuno va' ci scrive e saluta a sorete. -- Basta andare su aRviX, cercare documenti e trovare algoritmi, o cercare libri come quelli menzionati ! Oppure andare a spulciare.Explanatory_Supplementary_Almanac per trovarsi un'altro mondo.


M.Vaglieco - a) sono i presupposti errati o dubbi? allora la discussione va fatta in Geometria analitica. Non credo che la soluzione da quello che ho messo, (*formula mio post precedente*) trovato non ricordo Astronomical Algorihms, o Astronomical Formulae for Calculators e lo stesso Meeus descrisse gli errori di Matematica bidimensionale con geometria solida e Meccanica Newtoniana, anche se ha alla base parte di geometria solida, ma mettiamoci dentro anche la Geometria Euclidea e quella Riemanniana e siamo contenti.
Ora sono sul portatile e non ho tempo di andare a controllare alcune cose.

Io considero e secondo me e il percorso piu adatto, il Perimetro Orbitale come una successione di infiniti punti lungo un'orbita (di ellisse e), percorsi dal corpo e descrivono la circonferenza orbitale chiamato Perimetro dell'Orbita (p), che sono perturbati da (k1, l2, z3, e Xn pianeti e dal Sole, +yN corpi minori) ... ove unendoli si ottiene il (P) :/
Occorre anche considerare tutte le perturbazioni che fanno muovere l'orbita del pianeta . - Per quello il calcolo che lei dice di conoscere --................ Non sarà mai uguale a quello che leggerà, per i motivi summenzionati.
La formula a mio avviso comunque non e' incorretta, anche se si avvicina onestamente.
Casualmente ieri sera sono andato a cercare per curiosita anche il Libro da lei menzionato che casualmente ho - Ma non ho trovato l'integrale ne' la formula.
Poi sono andato alla ricerca sugli Integrali anche le soluzioni di Simpons se ricordo su un video in youtubo, che si avvicina di molto a trovare valori molto precisi ma non perfetti.
Ma che sarebbe impossibile se tiene conto anche delle perturbazioni a cui l'orbita e ascritta e percorre in tempi differenti.


M.Vaglieco - E' il Perimetro che permette il calcolo della Legge, non il contrario. - Guardi si apra dei libri di Meccanica Planetaria e vedra' che il discorso e differente. Il libro citato "Solving kepler's equation over three centuries" -- le farà capire che ha scritto anche un'eresia e senza offesa. Parla di PERIODI NON DI PERIMETRI !

Non riesco al momento essere presente nel forum non me ne voglia, anzi ho piacere di discutere, ma anzi .. si apra il foglio excel [ foglio excel (http://www.astronomia.com/forum/showthread.php?5450-Foglio-excel-per-Calcolo-Effemeridi-e-altri-dati&p=90657&viewfull=1#post90657) ] , visto che vedo preparato, vedrà quanti calcoli occorrono per la posizione di un corpo nello spazio. La "marea di algoritmi presenti" e trova per un buon arco di tempo anche la corretta posizione.
Come dico vorrei poter controllare il link dei Perimeti Orbitali e la pagina sul sito della NASA, io non ci giro da mesi, anche se giro tra IERS e aRviX e journal Cambridge, IAU, IMCCE, ed journal Harvard. Non ho tempo e non riesco neppure a contribuire come vorrei nel forum. Ma sempre con umiltà. Ma ponendo materiale e spiegando quello che comprendo .

Un Cordiale Saluto a tutti.

[lucianob]

Grazie a un valore preso dal tuo post enrico C
Sono riuscito grazie a saperlo fare, una ricerca usando le fork con google.
" Mercury 359,976,856 km " e ho trovato .........................
Il link per conoscenza anche di altri

Comparison Chart - (https://solarsystem.nasa.gov/planets/compchart.cfm?Object1=Mercury&Object2=Mercury)
A cui faccio presente che i valori menzionati sono statici e non dinamici e presi in un punto del tempo. Cioé esempio in tal data 1/01/2010 alle ore00 di TU.
Movimenti sono dinamici e ci sono fortissime variazioni su molti valori, mi spiace solo che molti vedendo i valori li' pensino che e un valore fisso !

Mo' vado .. :)

[M.Vaglieco]

A Enrico C. e Lucianob
I valori che fornisce la Nasa o da chiunque altro dedotto, difficilmente sono o possono essere uguali: poichè la formula che li calcola dipende esclusivamente da q semi asse maggiore e poiché questo ha un valore più o meno preciso in dipendenza da come è fatto il rilevamento, la formula dà valori quasi uguali, considerando anche il calcolo dei decimali. Per fare una valutazione bisogna usare lo stesso semi asse maggiore.
A Enrico C.
Il concetto geometrico è 2Rπ, quello fisico è il periodo orbitale T; entrambi hanno valore matematico. 2Rπ/T= Velocità Media di un punto-massa che si muova sul perimetro di una circonferenza dove al posto di R posso mettere a=SEMIASSE oppure (a+b)/2 ( valore medio [media aritmetica] tra i due assi), da cui la velocità media: essi sono sempre valori matematici, a cui posso aggiungere delle variabili se del caso; da qui la domanda della discussione, rivolta a voi tutti in quanto Astronomi. Questo motivo è quello per cui non ho citato, nel porre la discussione, il valore dell'integrale ellittico delle aree (ora è indicato nell'Allegato) di cui se ne può fare a meno.

A Lucianob. [………..2Rπ=(q+m)π oppure 2Rπ=2qπ che sono ?? . a cosa rimandano ?] leggi sopra: stai solo polemizzando. La domanda della discussione era sulla circonferenza orbitale, se poteva essere (a+b)π anziché 2aπ. Non va bene? dicci te come ricavi la circonferenza orbitale, quale formula applichi, quella matematica di partenza, senza k1,I2,z3 ecc.
IERS, aRviX, IAU, IMCCE ecc. una caterva di riferimenti: ma tu di tuo non ci metti niente?
==Guardi si apra dei libri di Meccanica Planetaria e vedra' che il discorso e differente. Il libro citato "Solving kepler's equation over three centuries" -- le farà capire che ha scritto anche un'eresia e senza offesa. Parla di PERIODI NON DI PERIMETRI !==
Invece se tu avessi scritto PERIMETRI / PERIODI avresti avuto le Velocità Medie e la terza Legge di Keplero.
Se un punto descrive il perimetro di una circonferenza 2Rπ nel tempo T, il loro rapporto è chiamato velocità media, se il punto è una massa, in astronomia la radice quadrata del rapporto GM/R è chiamata velocità media, poichè questo avviene per tutti i casi, comparando questi due dati si ottiene una legge: la 3 legge.
Ripeto, Lucianob: stai polemizzando e niente di più!
Ho scritto in corsivo quelle cose che ritengo perfettamente superflue, anzi per qualcuno potrebbero risultare offensive per la loro ovvietà, il che mi rattrista! Non è questa la discussione che pensavo.
Credo che la discussione sia finita, non risponderò più. Chi ha letto qualcosa si farà una idea e magari con il tempo esternarcene una sua.
Ho posto un Allegato, dove ho riassunto quello che è stato detto sino a questo punto, più la rettificazione dell'Ellisse.
Grazie a Tutti, in particolari ai più «accaniti» Enrico C. e Lucianob.
M.Vaglieco