Geometrie non euclidee

[Cedille77]

Ho una domanda semplice da fare..

E' possibile disegnare geometrie non euclidee?!? Se ho uno foglio tridimensionale, con la matita è possibile disegnare una geometria non euclidea?!!? Si o no...

[Red Hanuman]

Puoi creare con un foglio una sella o una sfera? Sì o no?;)

[Cedille77]

Puoi creare con un foglio una sella o una sfera? Sì o no?;)
No... si rompe o lo spazio si ammucchia...

Anche su si usa la computer grafica non è possibile...

[Cedille77]

Mi chiedevo se esiste un modello per essere rappresentata la geometria non euclidea sulla realtà virtuale. Secondo me è impossibile.

[Enrico Corsaro]

Caro Alessio Puppi

poniamola in un modo alternativo. Prendi una sfera (se vuoi un pallone, o anche un palloncino) e prova a disegnarci sopra una linea retta.
Ovviamente non potrai perchè la superficie su cui disegnerai è curva. Hai così generato una geometria non euclidea.

La non-euclidicità non sta nell'avere più dimensioni ma è legata alla geometria (o se preferisci alla "curvatura") dello spazio che utilizzi.
Puoi avere spazi a geometria euclidea anche in 100 dimensioni, non cambia nulla matematicamente.
Puoi avere spazi non-euclidei anche a due dimensioni e il caso della superficie sferica che ti ho dato è un esempio. Ovviamente puoi ricreare tutto questo al computer e visualizzarlo graficamente, ma sempre in massimo tre dimensioni.

[Enrico Corsaro]

Secondo me è impossibile.

Ma certo che è possibile! Basta ad esempio disegnare un triangolo su di un piano e poi deformare la superficie piana in una curva (o concava o convessa). Vedrai che il triangolo si deforma e la somma dei suoi angoli interni non darà più 180°, come avviene nel caso della geometria euclidea.
Esiste anche la cosiddetta geometria sferica, molto utilizzata nel campo delle coordinate celesti (giusto per essere a tema), che vede proprio l'uso di geometria non euclidea perchè è applicata sulla superficie interna di una sfera, nel qual caso rappresentante la volta celeste.

[Enrico Corsaro]

Aggiungo per essere ancora più chiaro. Il mondo in cui viviamo, così come l'Universo, è tutto costituito da geometrie non euclidee. Il caso della geometria euclidea è semplicemente una approssimazione ultima, quella che possiamo definire il caso più semplice, la geometria tipica del "piano", quindi solo un caso particolare di tutte le varietà possibili in natura. Se ti interessa saperne di più da un punto di vista storico e matematico, fai riferimento al buon Bernhard Riemann che per primo introdusse ufficialmente le geometrie alternative (anche se fu il grande Gauss, insegnante di Riemann, a teorizzarle prima di lui ma senza pubblicare mai per scelta i suoi lavori).
Se ti interessano esempi famosi di superfici a geometrie alternative (e perfettamente disegnabili al computer) cerca la bottiglia di Klein e il nastro di Moebius (tra l'altro facilissimo da realizzare anche con un nastro di carta).
Spero di essere stato utile :biggrin:.

[Cedille77]

ma.. :hm:
Chi vive su foglio osserva gli oggetti in base a ciò che sta su quella superficie. Un osservatore esterno vede le curve del foglio ma se si avvicina al foglio che succede? La sue geometria cambia o rimarrà euclidea? Avvicinando il foglio al naso mi deformo oppure no?
Mi suona strano che possa esserci un'osservatore esterno e non subisce interazione nel contesto. E' come osservare lo spazio e il tempo esternamente... :hm:

[Red Hanuman]

Dipende sempre dal contesto e dalle dimensioni relative.

Per esempio, la Terra è più o meno una sfera, ma alle nostre dimensioni è difficile percepire la sua curvatura, tant'è che la geometria euclidea si chiama così proprio perchè il termine "geometria" (da wiki)
nasce dal greco antico γεωμετρία, composto dal prefisso geo che rimanda alla parola γή = "terra" e μετρία, metria = "misura", tradotto quindi letteralmente come misurazione della terra, in senso di terreno da misurare.
Più ti avvicini all'infinitesimo e più la geometria ti sembrerà euclidea, ma in relazione alle tue dimensioni.
Un metro di asfalto può essere per te piatto, ma per una formica è un guazzabuglio di forme caotiche.
E rognose da superare... :biggrin:

[Enrico Corsaro]

Ciao Alessio, cerchiamo di fare un pò di chiarezza prima di tutto.
Le geometrie alternative sono utilizzate per studiare particolari situazioni e casi, che nella vita quotidiana non utilizziamo poichè abbiamo la necessità di semplificare per vivere meglio (ergo usiamo quasi sempre la geometria euclidea, soprattutto nel campo ingegneristico).
Come dice Red giustamente però, dipende dalle situazioni e non è solo una questione di piccolezza, ma anche di grandezza. Ad esempio lo spazio-tempo in cui viviamo è definito secondo la Relatività Generale come una varietà riemanniana a 4 dimensioni, che non implica affatto alcuna geometria euclidea, ma è un concetto molto più generale, ovvero indica una geometria con curvatura variabile in ogni punto dello spazio (per farla breve).
Noi viviamo in questo spazio-tempo e pertanto siamo soggetti alla sua geometria (almeno secondo la Relatività Generale), solo che nel quotidiano non ce ne rendiamo conto, anche perchè nella Relatività Generale ciò che deforma lo spazio-tempo è la forza di gravità, che nel caso della Terra è ridotta al punto da non causare sensibili differenze.

Ovviamente nel caso che riporti, se io mi avvicino al foglio deformato, la mia geometria non cambia (io non mi deformo sul foglio, non posso farlo per natura), ma puoi cambiare certamente la geometria di oggetti deformabili a tuo piacimento (sia virtualmente che non si intende). Per contro però, se noi venissimo deformati ad esempio in prossimità di un forte campo gravitazionale qualcosa andrebbe storto, perchè le proprietà elastiche del nostro corpo consentono sollecitazioni solo entro certi limiti, piuttosto ridotti. Ciò comunque non toglie che noi possiamo produrre geometrie non euclidee, visualizzarle e disegnarle anche in computer grafica senza problemi entro le 3 dimensioni (le uniche percepibili dal nostro senso della realtà), e studiarle matematicamente (in modo astratto) a qualunque dimensione.

Ti consiglio una lettura molto molto bella in merito che si chiama
La congettura di Poincaré
O'Shea Donal

dall'omonima congettura di Henri Poincarè, uno dei più grandi geni della topologia e geometria differenziale mai esistiti, che ha formulato un problema matematico a inizio '900 (uno degli 8 problemi del millennio per la matematica) risolto solo da qualche anno a questa parte dal matematico russo Grigorij Jakovlevič Perel'man con una incredibile dimostrazione di enorme complicatezza e avanguardia. E' davvero una bella lettura, storica, istruttiva e piena di spunti, che ti invito a fare se questo argomento ti appassiona.

[Chri]

Ho una domanda semplice da fare..

E' possibile disegnare geometrie non euclidee?!? Se ho uno foglio tridimensionale, con la matita è possibile disegnare una geometria non euclidea?!!? Si o no...

anche senza fogli tridimensionali, ci sono vari modelli del piano iperbolico...il modello di Klein, che usa linee rette ma non mantiene la misura reale degli angoli, quello di Poincaré, che mantiene le misure degli angoli ma come linee rette usa cerchi ortogonali a un dato cerchio usato come piano, e altri..fai qualche ricerca su questi modelli ;)

In alternativa puoi disegnare su una Pringle (sì, la patatina), che è un ottimo esempio di paraboloide iperbolico (non scherzo!) :D