redshift z e distanza all'emissione

[pneuhold]

ho letto un vecchio articolo di V.Zappalà ( C'è distanza e distanza , 18/8/2011) :nella figura 3 vengono riportate le distanze comoventi e quelle al momento dell'emissione . Vorrei sapere come si calcolano le distanze al momento dell'emissione , che si vedono nella figura 2 in funzione di z .
L'autore o altri mi sa rispndere ? L'articolo è allegato e comunque si trova in rete cercando "distanza comovente"

[etruscastro]

sarebbe opportuno una presentazione ufficiale al forum!

[Albertus]

saluti

si consideri una stella Cepheide nella galassia

in relatività ristretta l'effetto Doppler si calcola con la formula :

\[Del]\[Lambda] = \[Lambda] x (1 + v/c)/Sqrt[1 + v^2/c^2] + 1

le stelle remote viaggiano a velocità prossime a quelle della luce
se la velocità fosse di 100.000 km/sec si commetterebbe un errore del 24 % sulla variazione della lunghezza d'onda se non si tenesse conto della relatività

nota la variazione della lunghezza d'onda si ricava la velocitò della stella al momento dell'emissione
qui viene il punto critico
credo che tale formula tenga conto anche dell'espansione dell'universo
vale a dire la velocità v dovrebbe essere la somma della velocità propria della stella rispetto allo spazio e della velocità di trascinamento dovuta all'espansione dello spazio stesso
nota la velocità v si dovrebbe poter calcolare il periodo "vero" delle Cepheide , al netto del rallentamento del tempo dovuto alla velocità e quindi ricavare la distanza della stella al momento dell'emissione
la curvatura dello spazio tempo dovrebbe essere trascurabile
se stelle è galassie erano già formate lo spazio doveva essere ,in media, già quasi piatto

[mario26c]

ho letto un vecchio articolo di V.Zappalà ( C'è distanza e distanza , 18/8/2011) :nella figura 3 vengono riportate le distanze comoventi e quelle al momento dell'emissione . Vorrei sapere come si calcolano le distanze al momento dell'emissione , che si vedono nella figura 2 in funzione di z .
L'autore o altri mi sa rispndere ? L'articolo è allegato e comunque si trova in rete cercando "distanza comovente"

Ciao!
Il calcolo della distanza propria (quella vera) di una galassia al tempo dell'emissione della luce che è stata redshiftata di una quantità "z" (e che quindi "si trova a redshift z") non è facile da calcolare, è una formula che tiene conto dei parametri cosmologici (quindi "di cosa è fatto l'Universo") dato che l'espansione dell'Universo dipende da loro e contiene un oggetto matematico chiamato integrale. In particolare partiamo dalla formula che ci permette di capire a che distanza si trova OGGI quel corpo celeste da noi (la distanza in questione è la distanza "comovente", o "comobile"):

dc = \frac{c}{H_0}\cdot\int_{0}^{z}\frac{dz'}{\sqrt{\Om ega_{r_0}\cdot(1+z')^4+\Omega_{m_0}\cdot(1+z')^3+\ Omega_{k_0}\cdot(1+z')^2+\Omega_{\Lambda_0}}}

dove:
z = redshift della sorgente
c = velocità della luce nel vuoto
H_0 = valore odierno del parametro di Hubble (o costante di Hubble)
\Omega_r_0 = parametro cosmologico legato alla quantità (densità) di energia presente oggi nell'Universo dovuta alla radiazione
\Omega_m_0 = parametro cosmologico legato alla quantità (densità) di energia presente oggi nell'Universo dovuta alla materia (ordinaria e oscura)
\Omega_k_0 = parametro cosmologico legato alla quantità (densità) di energia presente oggi nell'universo dovuta alla curvatura dello spazio (diciamo è un termine che tiene conto anche del fatto che l'Universo possa essere globalmente curvo)
\Omega_\Lambda_0 = parametro cosmologico legato alla quantità (densità) di energia presente oggi nell'Universo dovuta all'energia oscura (o meglio alla costante cosmologica)

La distanza comobile dc di una sorgente quindi come abbiamo visto si può calcolare in base al redshift della sorgente e conoscendo la composizione dell'Universo.
Per passare da distanza comobile "dc" a distanza vera "dp" (o più correttamente "propria") la formula è semplice:

dp(t) = a(t) \cdot dc

dove a(t) è il cosiddetto "fattore di scala" che di fatto è quello che tiene conto dell'espansione dell'Universo.
Capiamo meglio questa formula: la distanza comobile "dc" di un oggetto celeste è costante del tempo anche se lui si allontana da noi per effetto dell'espansione dell'Universo; se ti immagini di disegnare una griglia immaginaria che copre tutto l'Universo, la distanza comobile di una sorgente è come se segnasse a che punto della griglia (in quale casella) si trova la sorgente da noi. Se l'Universo si espande allora la griglia si espande ma l'oggetto celeste si troverà sempre nello stesso punto sulla griglia (sulla stessa casella), semplicemente la griglia su cui si trova si "stiracchia" e se lo trascina appresso lontano da noi. Ora passiamo al fattore di scala a(t), questo varia con il tempo (ecco perché si mette la "t" tra parentesi) e ci dice di quanto è stiracchiata la griglia ad un certo istante di tempo. Matematicamente ci dice di quanto bisogna moltiplicare la distanza comobile (di quanto bisogna riscalarla) per sapere la distanza vera a cui si trova l'oggetto ad un certo istante di tempo "t".
Se l'universo si espande allora il fattore di scala crescerà e quindi vuol dire che dovremmo moltiplicare la distanza comobile di un oggetto per un numero sempre più grande per sapere la distanza vera dell'oggetto da noi. Detto in altri termini, man mano che passa il tempo, la distanza vera di un oggetto che si trova su una certa casella della griglia immaginaria (ad una certa distanza comobile sempre fissa) aumenta sempre di più.

Per convenzione si assume che oggi (tempo t0) il fattore di scala valga: a(t0) = 1 (di conseguenza la distanza vera di un'oggetto oggi è uguale proprio alla sua distanza comobile).
A questo punto ricapitoliamo la situazione:
-sappiamo il redshift della sorgente
-sappiamo a che distanza comobile si trova quell'oggetto tramite quella formulona e quindi (moltiplicando per un fattore di scala pari a 1) sappiamo a che distanza propria (vera) si trova l'oggetto da noi OGGI.

Ora l'unica cosa che bisogna fare è sapere quanto valeva il fattore di scala all'epoca di emissione della luce, ossia quanto era contratta la griglia immaginaria a quell'epoca rispetto ad adesso. Questo si può fare facilmente di nuovo grazie al redshift della sorgente, in particolare nel nostro caso:
a(tempo di emissione) = \frac{1}{1+z}

Rimettendo tutto insieme arriviamo alla formula finale per sapere la distanza propria (vera) dell'oggetto da noi al momento in cui ha emesso la luce, in base al suo redshift:

dp(tempo di emissione) = \frac{1}{1+z}\cdot dc

(al posto di "dc" devi mettere la formulona lunga che ho scritto prima). E il gioco è fatto.
Non sono formule semplici ma ti stupiresti della facilità con cui possono essere ricavate dalla semplice relazione:
dp(t) = a(t)\cdot dc
che a sua volta si può derivare dalle equazioni di Einstein.
Su qualsiasi libro di cosmologia base si possono trovare le varie derivazioni se ti interessa approfondire.
Spero di essere stato chiaro :)

P.S. Spero che le formule si leggano :D

[Albertus]

ciao

la formula che hai pubblicato consente di ottenere la distanza "oggi" mentre con la formula che ho pubblicato io si dovrebbe ottenere la distanza della galassia
" al momento dell emissione"
per passare dal mio valore al tuo in effetti ci sarebbe di mezzo un "integrale"
volevo chiederti se la mia formula relativistica che ho preso da un libro di spettrografia astronomica è applicabile anche nel caso dell'articolo di Zappalà, in altre parole se le due formule sono complementari ovvero quali sono i limiti di applicabilità della mia.
forse la mia formula non vale per lo studio dell'universo primordiale , sia pure in epoche in cui stelle e galassie si erano già formate ?

[mario26c]

la formula che hai pubblicato consente di ottenere la distanza "oggi" mentre con la formula che ho pubblicato io si dovrebbe ottenere la distanza della galassia " al momento dell emissione"...

Ciao,
tramite la formulona grande che ho scritto si ricava la distanza "oggi" di una sorgente la cui luce ha un redshift pari a "z", ma come dicevo, convertendo il fattore di scala dell'espansione dell'Universo da quello odierno a(t0)=1 a quello al tempo dell'emissione tramite la formula:
a(tempo emissione) = a(t0)/(1+z)
si può, mettendo insieme le 2 formule, risalire alla distanza propria ("vera") della galassia al tempo dell'emissione.

Per quanto riguarda la tua formula (per l'effetto Doppler relativistico) e per quanto riguarda la sua applicabilità occorre dire che il redshift cosmologico, ossia lo spostamento verso il rosso della luce di galassie lontane, non è un redshift dovuto all'effetto Doppler, questa purtroppo è una spiegazione che spesso viene data, anche nel campo divulgativo, ma purtroppo non è corretta. Mi spiego: la luce di una sorgente lontana non vira verso il rosso (frequenze più basse) perché la sorgente si allontana da noi nello spazio, come ad esempio accade al suono di una macchina che sfreccia via da noi, ma tale spostamento è dovuto al fatto che la lunghezza d'onda della luce della sorgente astronomica ha viaggiato per miliardi di anni in uno spazio che si stava espandendo, di fatto è stata "stiracchiata" e si è spostata a frequenze più basse (lunghezze d'onda maggiori), quindi verso il rosso. Sembrano 2 effetti simili ma sono molto diversi tra loro, hanno cause molto diverse (in un caso un movimento nello spazio della sorgente, nell'altro uno stiramento dello spazio mentre la luce viaggia) e anche le equazioni matematiche che le descrivono sono diverse.
Di conseguenza la relazione che lega il redshift di una sorgente alla sua velocità di allontanamento dovuta all'espansione dell'Universo è diversa da quella che vale per l'effetto Doppler.

Per essere precisi, quello che accade è che per galassie relativamente vicine (a redshift z molto minori di 1), si ha che la velocità di allontanamento di una galassia "v" è legata al suo redshift tramite la formula:
v = z /cdot c
(è una semplice moltiplicazione).
Questa formula "putacaso" è proprio quella dell'effetto Doppler non relativistico (ossia quella valida se le velocità in gioco sono basse rispetto a quella della luce), ma è solo un'approssimazione valida a redshift piccoli di una formula molto più complicata (di base è quella lunga che avevo scritto nel messaggio precedente in cui però non compare la costante di Hubble H0), formula che ripeto, nel caso di redshift piccoli, si riduce possiamo dire "per caso" a quella dell'effetto Doppler. In tutti i casi comunque, ci tengo a ribadirlo, non si tratta di effetto Doppler.
In realtà quindi, per concludere, la formula dell'effetto Doppler (non relativistico) può essere usata per legare redshift, velocità e distanze nel caso di redshift molto piccoli ma comunque la formula più generale (e corretta) non è quella di un'effetto Doppler (o addirittura di un effetto Doppler relativistico) semplicemente perché non si tratta di effetto Doppler ma di espansione dell'Universo. E anche nel caso in cui si usasse la formula dell'effetto Doppler si otterrebbe, dalla velocità della sorgente, la distanza propria dell'oggetto OGGI, non al tempo dell'emissione, quindi occorrerebbe sempre anche in questo caso trasformare il fattore di scala.

Probabilmente la formula che hai riportato serve a stimare la velocità radiale (quindi proiettata lungo la linea di vista) di una sorgente che ha emesso luce la cui lunghezza d'onda è nota, a partire dal suo Doppler shift (ossia si vede di quanto tale luce è spostata verso il blu o verso il rosso). Questo però vale per sorgenti che hanno un cosiddetto "moto proprio", cioè che si muovono per conto loro e non a causa dell'espansione dell'Universo. Pensa ad esempio alle stelle in un ammasso di stelle, oppure a galassie che si muovono in ammassi di galassie ecc.

Non solo ma le galassie molto molto distanti (primordiali) ci appaiono allontanarsi da noi a velocità relativistiche (anzi, alcune anche a velocità maggiore della luce) a causa dell'espansione dell'Universo, e la formula che ho riportato ne può tenere conto tranquillamente per calcolare distanze e velocità, al contrario quella derivata dalla relatività speciale non potrebbe dare risultati sensati: la relatività dice che nessun corpo può muoversi nello spazio a velocità maggiori di quella della luce e le sue equazioni "non accettano" velocità maggiori, ma nel nostro caso, ripeto, stiamo parlando dell'espansione dell'Universo, e lo spazio può espandersi "alla velocità che vuole" (ci sarebbe molto da dire su questa cosa ma mi sto dilungando :D), servono quindi altre equazioni che tengano conto di questo fenomeno, proprio come quella che avevo riportato. Tra l'altro quell'equazione che ho postato nel messaggio precedente tiene conto anche dell'eventuale curvatura globale dell'Universo, non solo odierna ma anche antica.
Spero di essere stato chiaro :)
Buona serata

[Albertus]

grazie , molto interessante

in effetti anch'io avevo premesso:

"qui viene il punto critico
credo che tale formula tenga conto anche dell'espansione dell'universo"
vale a dire :
lo stiramento dello spazio si può assimilare ad un effetto Doppler ?

la risposta è quindi negativa

mi pongo però un'altra domanda :
lo spostamento verso il rosso della luce di stelle remote che si allontanano a velocità prossime a quelle della luce è stato ,a mia conoscenza, una delle prove sperimentali indirette delle teoria della relatività speciale
se si tenesse conto del solo effetto Doppler queste stelle risulterebbero fatte di elementi sconosciuti al contrario se si tiene conto anche del rallentamento del tempo si ritrovano l'idrogeno e l'elio
all'epoca però nessuno poteva immaginare che lo spazio fosse in espansione

[Albertus]

saluti

a completamento del mio post precedente propongo questo esempio numerico

una stella si muove alla velocità di 100.000 km/sec
la lunghezza d'onda dell'idrogeno alpha in laboratorio è :
L = 6563 A
Se si tenesse conto del solo effetto Doppler non relativistico gli astronomi si aspetterebbero di leggere una lunghezza d'onda circa :
L = 8750 A
invece leggono circa :
L = 9281 A
gli astronomi tengono conto del rallentamento del tempo sulla stella
l'idrogeno è , per cosi dire, congelato
il coefficiente di dilatazione del tempo vale circa :

k = 0.942

e quindi

L = 0.942x9281 = 8743 A

questo risultato è coerente, al netto delle approssimazioni di calcolo a meno del 0.001 % con la formula dell'effetto Doppler relativistico che ho riportato

[mario26c]

grazie , molto interessante...

Ciao, guarda, penso che questi esperimenti di cui parli siano stati condotti su stelle della nostra galassia, infatti misurare il moto delle stelle che appartengono a galassie lontanissime (quelle che si allontanano a velocità relativistiche a causa dell'espansione dell'Universo) è impossibile. Le stelle della nostra galassia non risentono dell'espansione dell'Universo, quindi lo spostamento verso il rosso (o il blu) della loro luce osservato è effettivamente un effetto Doppler legato al loro movimento rispetto a noi ed è correttamente descritto dalle formule della relatività speciale.

[Albertus]

ciao

probabilmente è come dici tu
comunque mi riferivo ad un libro dedicato all'astronomia amatoriale ma non è un testo divulgativo, si tratta di :

"Spectroscopy the key to the stars"
by Keith Robinson

l'autore spiega come interpretare le righe di assorbimento degli spettri tenendo conto dell'effetto Doppler premurandosi di distinguere quando usare la formula standard e quando quella relativistica
se nella nostra galassia non esistono stelle che si allontanano a velocità relativistiche e se la velocità delle galassie remote non è misurabile neanche da professionisti allora sarebbe un precisazione inutile

[mario26c]

saluti

a completamento del mio post precedente propongo questo esempio numerico...

Guarda nel tuo caso una stella che si muovesse così velocemente nella nostra galassia (a un terzo della velocità della luce...wow) mostrerebbe un effetto Doppler proprio come dici tu (assumendo che i calcoli siano corretti). In particolare se la stella è in allontanamento (come sembra) il suo redshift sarebbe di circa z = 0.33 (ottenuto da te con le formule della relatività speciale) ma non è un redshift cosmologico, non è legato alla distanza della stella da noi né tantomeno all'espansione dell'Universo. Il problema è un altro, ossia se si osservasse quel redshift (z = 0.33) sulla la luce di un oggetto (una galassia) che si muove SOLO a causa dell'Espansione dell'Universo, allora servirebbe quell'equazione lunga che ti dicevo per risalire alla velocità di allontanamento dovuta all'espansione dell'Universo, ma essendo il redshift piccolo, quell' equazione lunga come ti dicevo si riduce proprio a v = z * c, e quindi tornerebbe con la tua velocità. Di nuovo, il redshift cosmologico quando è piccolo sembra un effetto Doppler.

Se però provi a inserire nella formula della relatività speciale una velocità della sorgente pari a 3 volte la velocità della luce, non dovrebbe uscire niente di sensato nel calcolo della lunghezza d'onda osservata (e quindi del redshift). Al contrario mettendo quella velocità nell'equazione lunga, otterresti un redshift sensato (in particolare un redshift pari a z=90, quindi la differenza di lunghezza d'onda misurata sarebbe circa 90 volte quella della lunghezza d'onda della luce misurata al laboratorio). Per pura curiosità ti dico che galassie che si allontanano da noi a quelle velocità a causa dell'espansione dell'Universo sono lontanissime, parliamo di circa 40 miliardi di anni luce (per dirla tutta non ci sono nemmeno galassie così lontane e antiche visto che all'epoca dell emissione di quella radiazione così antica le galassie ancora non si erano formate).
Spero di essere stato chiaro :)

[mario26c]

ciao

probabilmente è come dici tu
comunque mi riferivo ad un libro dedicato all'astronomia amatoriale ma non è un testo divulgativo, si tratta di :

"Spectroscopy the key to the stars"
by Keith Robinson...

E' chiaro, ah non lo conosco come libro, mi ci informerò. Sì, più che altro quando si parla di velocità di allontanamento delle stelle tipicamente non c'entra nulla l'espansione dell'Universo, quella si misura tramite la velocità di allontanamento delle galassie, non delle stelle. Ecco perché probabilmente l'autore non ha parlato di espansione dell'Universo. Per dirla tutta comunque sono state osservate stelle che si muovono a velocità relativistiche, in particolare vicino al buco nero che si trova al centro della nostra galassia, ma li per il calcolo del redshift occorre tenere conto anche della curvatura dello spazio-tempo legata alla forte gravità del buco nero.
Buona giornata

[Albertus]

ciao
si le cose stanno come dici tu
in effetti ripensandoci il red shift relativistico quale ulteriore prova indiretta della relatività deve essere stato concepito molto tardi dato che prima delle osservazioni di Hubble che risalgono agli anni 30, l'universo si pensava fosse statico figuriamoci velocità relativistiche

[etruscastro]

mario26c per cortesia, per rispondere non quotare tutto il messaggio, puoi farlo solo per alcuni brevi passaggi tecnici e mai per l'ultimo messaggio, altrimenti diventa un thread lungo e noioso da seguire.

[Albertus]

a conferma di quanto scritto da mario26c

da " Spectroscopy for amateur astronomers "
con riferimento all'effetto Doppler relativistico
" an extended application of the apparent cosmological escape velocity due to the expansion lattice is rejected today by experts"
all'interno della nostra galassia si continua ad usare la formula che ho postato per lo studio di fenomeni che possono raggiungere la velocità di 5000 km/sec
menttre per galassie che si possono allontanare anche alla velocità di 300.000 km/sec la formula non è considerata più valida ai nostri giorni

[mario26c]

Grazie etruscastro, scusa ma essendo le prime volte che rispondo nel forum ancora non mi destreggio bene :D

[pneuhold]

scusate il ritardo , ho avuto problemi di password .
comunque ho risolto da solo , trovata la formula , ho fatto un programmino e risolto l'integrale trovando gli stessi numeri di Zappalà .
grazie comunque a chi ha risposto .

[pneuhold]

Ciao!
Il calcolo della distanza propria (quella vera) di una galassia al tempo dell'emissione della luce che è stata redshiftata di una quantità "z" (e che quindi "si trova a redshift z") non è facile da calcolare, è una formula che tiene conto dei parametri cosmologici (quindi "di cosa è fatto l'Universo") dato che l'espansione dell'Universo dipende da loro e contiene un oggetto matematico chiamato integrale. In particolare partiamo dalla formula che ci permette di capire a che distanza si trova OGGI quel corpo celeste da noi (la distanza in questione è la distanza "comovente", o "comobile"):

dc = \frac{c}{H_0}\cdot\int_{0}^{z}\frac{dz'}{\sqrt{\Om ega_{r_0}\cdot(1+z')^4+\Omega_{m_0}\cdot(1+z')^3+\ Omega_{k_0}\cdot(1+z')^2+\Omega_{\Lambda_0}}}

dove:
z = redshift della sorgente
c = velocità della luce nel vuoto
H_0 = valore odierno del parametro di Hubble (o costante di Hubble)
\Omega_r_0 = parametro cosmologico legato alla quantità (densità) di energia presente oggi nell'Universo dovuta alla radiazione
\Omega_m_0 = parametro cosmologico legato alla quantità (densità) di energia presente oggi nell'Universo dovuta alla materia (ordinaria e oscura)
\Omega_k_0 = parametro cosmologico legato alla quantità (densità) di energia presente oggi nell'universo dovuta alla curvatura dello spazio (diciamo è un termine che tiene conto anche del fatto che l'Universo possa essere globalmente curvo)
\Omega_\Lambda_0 = parametro cosmologico legato alla quantità (densità) di energia presente oggi nell'Universo dovuta all'energia oscura (o meglio alla costante cosmologica)

La distanza comobile dc di una sorgente quindi come abbiamo visto si può calcolare in base al redshift della sorgente e conoscendo la composizione dell'Universo.
Per passare da distanza comobile "dc" a distanza vera "dp" (o più correttamente "propria") la formula è semplice:

dp(t) = a(t) \cdot dc

dove a(t) è il cosiddetto "fattore di scala" che di fatto è quello che tiene conto dell'espansione dell'Universo.
Capiamo meglio questa formula: la distanza comobile "dc" di un oggetto celeste è costante del tempo anche se lui si allontana da noi per effetto dell'espansione dell'Universo; se ti immagini di disegnare una griglia immaginaria che copre tutto l'Universo, la distanza comobile di una sorgente è come se segnasse a che punto della griglia (in quale casella) si trova la sorgente da noi. Se l'Universo si espande allora la griglia si espande ma l'oggetto celeste si troverà sempre nello stesso punto sulla griglia (sulla stessa casella), semplicemente la griglia su cui si trova si "stiracchia" e se lo trascina appresso lontano da noi. Ora passiamo al fattore di scala a(t), questo varia con il tempo (ecco perché si mette la "t" tra parentesi) e ci dice di quanto è stiracchiata la griglia ad un certo istante di tempo. Matematicamente ci dice di quanto bisogna moltiplicare la distanza comobile (di quanto bisogna riscalarla) per sapere la distanza vera a cui si trova l'oggetto ad un certo istante di tempo "t".
Se l'universo si espande allora il fattore di scala crescerà e quindi vuol dire che dovremmo moltiplicare la distanza comobile di un oggetto per un numero sempre più grande per sapere la distanza vera dell'oggetto da noi. Detto in altri termini, man mano che passa il tempo, la distanza vera di un oggetto che si trova su una certa casella della griglia immaginaria (ad una certa distanza comobile sempre fissa) aumenta sempre di più.

Per convenzione si assume che oggi (tempo t0) il fattore di scala valga: a(t0) = 1 (di conseguenza la distanza vera di un'oggetto oggi è uguale proprio alla sua distanza comobile).
A questo punto ricapitoliamo la situazione:
-sappiamo il redshift della sorgente
-sappiamo a che distanza comobile si trova quell'oggetto tramite quella formulona e quindi (moltiplicando per un fattore di scala pari a 1) sappiamo a che distanza propria (vera) si trova l'oggetto da noi OGGI.

Ora l'unica cosa che bisogna fare è sapere quanto valeva il fattore di scala all'epoca di emissione della luce, ossia quanto era contratta la griglia immaginaria a quell'epoca rispetto ad adesso. Questo si può fare facilmente di nuovo grazie al redshift della sorgente, in particolare nel nostro caso:
a(tempo di emissione) = \frac{1}{1+z}

Rimettendo tutto insieme arriviamo alla formula finale per sapere la distanza propria (vera) dell'oggetto da noi al momento in cui ha emesso la luce, in base al suo redshift:

dp(tempo di emissione) = \frac{1}{1+z}\cdot dc

(al posto di "dc" devi mettere la formulona lunga che ho scritto prima). E il gioco è fatto.
Non sono formule semplici ma ti stupiresti della facilità con cui possono essere ricavate dalla semplice relazione:
dp(t) = a(t)\cdot dc
che a sua volta si può derivare dalle equazioni di Einstein.
Su qualsiasi libro di cosmologia base si possono trovare le varie derivazioni se ti interessa approfondire.
Spero di essere stato chiaro :)

P.S. Spero che le formule si leggano :D

Buon giorno !
A parte che in effetti non riesco a leggere la formula , ricca di parentesi graffe ed altro , io ho trovato ( vedi allegato ) una formula più semplice con la quale riproduco fedelmente i numeri della figura 2 dell'articolo di Zappalà ( ovvero distanza comovente e ditanza all'emissione ) , però in effetti non riproduco gli stessi numeri della figura 1 , cioè trovo diversi tempi in corrispondenza degli z riportati in figura ( questo fino adesso , forse c'è un errore , ma non lo trovo ) . Commenti ?

[mario26c]

Ciao! Scusa per il ritardo nella risposta. Intanto volevo dirti che la formula numero (9) dell'allegato che mi hai mandato è proprio quella che ho scritto io :D A quanto pare le equazioni scritte in Latex non vengono convertite nel modo corretto (o ho sbagliato qualcosa io e non la ha convertita in qualcosa di leggibile). L'equazione che ho scritto io in realtà è leggermente più completa perché nell'integrale, al denominatore, sotto radice ho tenuto conto anche del contributo energetico dovuto alla radiazione (Omega_r) che nell'allegato è stato trascurato perché molto piccolo (parliamo di meno dello 0.009%).

Per quanto riguarda il calcolo del tempo della figura 1 di Zappalà, ossia l'età che aveva l'Universo quando è partita la luce che ci arriva oggi di un oggetto posto ad un redshift "z", bisogna partire dal tempo che ci ha impiegato la luce per partire dall'oggetto e arrivare a noi oggi. Questo "tempo di volo" si calcola a partire dalla cosiddetta "distanza luce" e poi si divide per c (la velocità della luce nel vuoto). La distanza luce (un altro tipo di distanza utilizzata in cosmologia di cui non ti parlo ora per non dilungare l'argomento e che non è uguale alla distanza comovente) in funzione del redshift ha un'espressione simile a quella della distanza comovente con l'unica differenza che al denominatore nell'integrale compare un fattore (1+z') in più a moltiplicare la radice. L'equazione per calcolare questo tempo di volo, a partire dalla distanza luce, la puoi trovare sempre nell'allegato che mi hai mandato, è l'equazione numero (11). Se usi questa equazione calcoli il tempo di volo (come riportato anche dall'autore del documento).

Probabilmente non ritrovi gli stessi numeri della figura di Zappalà perché questa equazione (la numero 11) ti dice "per quanto tempo il fotone è restato in volo" da quando è stato emesso a redshift z fino ad arrivare a noi (t_volo), diciamo la "durata del viaggio", mentre nella figura 1 di Zappalà viene riportata l'età che aveva l'Universo (t_età) quando il corpo celeste a redshift z ha emesso la luce che ci arriva oggi, semplicemente i due tempi sono legati dalla relazione:

t_età = 14.0 - t_volo

(14.0 Miliardi di anni è l'età dell'Universo). Se quindi calcoli il tempo di volo e lo sottrai a 14.0 ottieni proprio i numeri riportati in figura 1 da Zappalà (mi raccomando occhio alle unità di misura con cui calcoli queste cose, se calcoli tutto in metri e secondi allora non devi usare il numero 14 ma devi convertirlo in secondi, diciamo che l'importante è che usi sempre le stesse unità di misura in tutti i calcoli).
Sto dando inoltre per scontato che tu effettivamente stia calcolando i tempi con l'equazione (11). Se li calcoli in un altro modo dimmi (se ad esempio prendi la distanza comovente e la dividi per la velocità della luce non ottieni nulla di sensato) che magari ti dico dove sta l'errore.
Buona serata

[pneuhold]

Ciao! Scusa per il ritardo nella risposta. Intanto volevo dirti che la formula numero (9) dell'allegato che mi hai mandato è proprio quella che ho scritto io :D A quanto pare le equazioni scritte in Latex non vengono convertite nel modo corretto (o ho sbagliato qualcosa io e non la ha convertita in qualcosa di leggibile). L'equazione che ho scritto io in realtà è leggermente più completa perché nell'integrale, al denominatore, sotto radice ho tenuto conto anche del contributo energetico dovuto alla radiazione (Omega_r) che nell'allegato è stato trascurato perché molto piccolo (parliamo di meno dello 0.009%).

Per quanto riguarda il calcolo del tempo della figura 1 di Zappalà, ossia l'età che aveva l'Universo quando è partita la luce che ci arriva oggi di un oggetto posto ad un redshift "z", bisogna partire dal tempo che ci ha impiegato la luce per partire dall'oggetto e arrivare a noi oggi. Questo "tempo di volo" si calcola a partire dalla cosiddetta "distanza luce" e poi si divide per c (la velocità della luce nel vuoto). La distanza luce (un altro tipo di distanza utilizzata in cosmologia di cui non ti parlo ora per non dilungare l'argomento e che non è uguale alla distanza comovente) in funzione del redshift ha un'espressione simile a quella della distanza comovente con l'unica differenza che al denominatore nell'integrale compare un fattore (1+z') in più a moltiplicare la radice. L'equazione per calcolare questo tempo di volo, a partire dalla distanza luce, la puoi trovare sempre nell'allegato che mi hai mandato, è l'equazione numero (11). Se usi questa equazione calcoli il tempo di volo (come riportato anche dall'autore del documento).

Probabilmente non ritrovi gli stessi numeri della figura di Zappalà perché questa equazione (la numero 11) ti dice "per quanto tempo il fotone è restato in volo" da quando è stato emesso a redshift z fino ad arrivare a noi (t_volo), diciamo la "durata del viaggio", mentre nella figura 1 di Zappalà viene riportata l'età che aveva l'Universo (t_età) quando il corpo celeste a redshift z ha emesso la luce che ci arriva oggi, semplicemente i due tempi sono legati dalla relazione:

t_età = 14.0 - t_volo

(14.0 Miliardi di anni è l'età dell'Universo). Se quindi calcoli il tempo di volo e lo sottrai a 14.0 ottieni proprio i numeri riportati in figura 1 da Zappalà (mi raccomando occhio alle unità di misura con cui calcoli queste cose, se calcoli tutto in metri e secondi allora non devi usare il numero 14 ma devi convertirlo in secondi, diciamo che l'importante è che usi sempre le stesse unità di misura in tutti i calcoli).
Sto dando inoltre per scontato che tu effettivamente stia calcolando i tempi con l'equazione (11). Se li calcoli in un altro modo dimmi (se ad esempio prendi la distanza comovente e la dividi per la velocità della luce non ottieni nulla di sensato) che magari ti dico dove sta l'errore.
Buona serata
PERFETTO , avevo proprio usato la 11 , ora mi è tutto chiaro , grazie

[mario26c]

Di niente, sono contento se ora ti torna tutto :D

[Albertus]

giusto un commento
finalmente sembrerebbe che questo forum sia frequentato da gente competente
se prima mi sentivo un maestro adesso mi sento un allievo;):sad:

[Alby68a]

Troppo modesto [emoji3]

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[mario26c]

Ognuno di noi ha sempre qualcosa da imparare da qualcun altro e può sempre insegnare qualcosa a qualcun altro, ad esempio nel mio caso io ho studiato Astrofisica e mi piace mettere a disposizione degli altri la mia esperienza però ad esempio a livello pratico di Astrofotografia so poco e nulla e in generale ho poca esperienza nelle osservazioni al telescopio, ecco anche perché mi sono iscritto qui. Il bello di questo forum è che ci si scambia l'esperienza tra appassionati :D