mazzolatore
28-04-2022, 13:53
Salve, vi espongo una curiosità che ho scoperto recentemente.
Come sappiamo tutti la terra è avvolta da un campo magnetico di intensità dell'ordine di 6*10^{-4} Tesla, che ci protegge dal vento solare, che è un particolare tipo di plasma.
Unendo la terza, quarta equazione di Maxwell, con la legge di ohm generalizzata, si può arrivare dall'equazione dell'induzione.
La legge di ohm scritta in forma microscopica
J = \sigma E
Con J = corrente di spostamento
\sigma = conducibilità elettrica
E = campo magnetico
Che ci dice appunto che se noi abbiamo un plasma, o un gas con particelle cariche, con una determinata conducibilità, e gli viene applicato un campo Elettrico, si genera una corrente di spostamento. Ovvero le cariche sottoposte all'accelerazione del campo, si muovono direzionalmente e formano una vera e propria corrente.
Se il sistema di gas e/o plasma è in movimento, l'equazione deve essere modificata per considerare come varia in diversi sistemi di riferimento.
E' possibile farlo velocemente usando le trasformazioni dei campi relativistiche (nonostante il nostro plasma si muova a velocità anche non relativistiche in generale).
Legge di ohm generalizzata:
J = \sigma (E + v x B)
Con v e B, velocità di insieme degli ioni e elettroni, e B campo magnetico.
Quarta eq di maxwell:
\nabla\times B = \mu_{0} J
Ne faccio il rotore
\nabla \times \nabla\times B = \mu_{0} \nabla \times J
Sostituisco a J la legge di ohm generalizzata:
\nabla \times \nabla\times B = \mu_{0} \sigma \nabla \times ( E + v \times B)
Sviluppo i conti, e al posto del rotore di E, ci sostituisco la 3à eq di maxwell
-\nabla^2 B + \nabla( \nabla\cdot B) = \mu_{0} \sigma ( -\frac{\partial B}{\partial t } + \nabla \times )v \times B)
\frac{\partial B}{ \partial t} =\frac{1}{\mu_{0} \sigma } \nabla^2 B + \nabla \times (v \times B)
Questa prende il nome di eq. dell'induzione, la quale può essere analizzata in 2 regimi differenti, ovvero dove esiste solo il 1° termine , o solo il 2°
Se sopravvive solo il primo termine prende il nome di eq di diffusione, e si capisce subito il perchè
\frac{\partial B}{ \partial t} =\frac{1}{\mu_{0} \sigma } \nabla^2 B
Si può facilmente avere quando la velocità è nulla.
L'eq di diffusione è uguale uguale a quella del calore:
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_del_calore#Definizione
dove li la derivata temporale della temperatura è uguale al nabla quadro, quindi tutte le eq che hanno questa struttura si dicono di diffusione.
L'equazione di diffusione per il calore ci dice come varia appunto la temperatura in funzione del tempo, e come questa si distribuisca spazialmente.
In parole povere se supponiamo di aver una sbarra di ferro conduttore, calda al centro e fredda ai bordi, isolata dall'ambiente esterno, il calore si distribuire in modo uniforme su tutta la sbarretta, in un determinato lasso di tempo.
Stessa cosa quindi deve avvenire il il campo magnetico terrestre, poiché segue la stessa equazione.
Quindi supponendo di spegnere d'improvviso, istantaneamente il campo magnetico terrestre, questo impiegherebbe un certo tempo, a distribuirsi in modo uniforme su tutta la superficie terrestre.
Cioè impiegherebbe un pò di tempo, per arrivare a zero sulla superficie terrestre.
Sostituendo all'equazione la permeabilità magnetica, la conducibilità, e la dimensione terrestre...otteniamo che questo tempo è dell'ordine del migliaio di anni. Estremamente breve per la vita del pianeta, ma abbastanza lungo per la nostra vita.
Una curiosità affascinante, che ho scoperto poco tempo fa, voi che ne pensate, ne eravate già a conoscenza?
Come sappiamo tutti la terra è avvolta da un campo magnetico di intensità dell'ordine di 6*10^{-4} Tesla, che ci protegge dal vento solare, che è un particolare tipo di plasma.
Unendo la terza, quarta equazione di Maxwell, con la legge di ohm generalizzata, si può arrivare dall'equazione dell'induzione.
La legge di ohm scritta in forma microscopica
J = \sigma E
Con J = corrente di spostamento
\sigma = conducibilità elettrica
E = campo magnetico
Che ci dice appunto che se noi abbiamo un plasma, o un gas con particelle cariche, con una determinata conducibilità, e gli viene applicato un campo Elettrico, si genera una corrente di spostamento. Ovvero le cariche sottoposte all'accelerazione del campo, si muovono direzionalmente e formano una vera e propria corrente.
Se il sistema di gas e/o plasma è in movimento, l'equazione deve essere modificata per considerare come varia in diversi sistemi di riferimento.
E' possibile farlo velocemente usando le trasformazioni dei campi relativistiche (nonostante il nostro plasma si muova a velocità anche non relativistiche in generale).
Legge di ohm generalizzata:
J = \sigma (E + v x B)
Con v e B, velocità di insieme degli ioni e elettroni, e B campo magnetico.
Quarta eq di maxwell:
\nabla\times B = \mu_{0} J
Ne faccio il rotore
\nabla \times \nabla\times B = \mu_{0} \nabla \times J
Sostituisco a J la legge di ohm generalizzata:
\nabla \times \nabla\times B = \mu_{0} \sigma \nabla \times ( E + v \times B)
Sviluppo i conti, e al posto del rotore di E, ci sostituisco la 3à eq di maxwell
-\nabla^2 B + \nabla( \nabla\cdot B) = \mu_{0} \sigma ( -\frac{\partial B}{\partial t } + \nabla \times )v \times B)
\frac{\partial B}{ \partial t} =\frac{1}{\mu_{0} \sigma } \nabla^2 B + \nabla \times (v \times B)
Questa prende il nome di eq. dell'induzione, la quale può essere analizzata in 2 regimi differenti, ovvero dove esiste solo il 1° termine , o solo il 2°
Se sopravvive solo il primo termine prende il nome di eq di diffusione, e si capisce subito il perchè
\frac{\partial B}{ \partial t} =\frac{1}{\mu_{0} \sigma } \nabla^2 B
Si può facilmente avere quando la velocità è nulla.
L'eq di diffusione è uguale uguale a quella del calore:
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_del_calore#Definizione
dove li la derivata temporale della temperatura è uguale al nabla quadro, quindi tutte le eq che hanno questa struttura si dicono di diffusione.
L'equazione di diffusione per il calore ci dice come varia appunto la temperatura in funzione del tempo, e come questa si distribuisca spazialmente.
In parole povere se supponiamo di aver una sbarra di ferro conduttore, calda al centro e fredda ai bordi, isolata dall'ambiente esterno, il calore si distribuire in modo uniforme su tutta la sbarretta, in un determinato lasso di tempo.
Stessa cosa quindi deve avvenire il il campo magnetico terrestre, poiché segue la stessa equazione.
Quindi supponendo di spegnere d'improvviso, istantaneamente il campo magnetico terrestre, questo impiegherebbe un certo tempo, a distribuirsi in modo uniforme su tutta la superficie terrestre.
Cioè impiegherebbe un pò di tempo, per arrivare a zero sulla superficie terrestre.
Sostituendo all'equazione la permeabilità magnetica, la conducibilità, e la dimensione terrestre...otteniamo che questo tempo è dell'ordine del migliaio di anni. Estremamente breve per la vita del pianeta, ma abbastanza lungo per la nostra vita.
Una curiosità affascinante, che ho scoperto poco tempo fa, voi che ne pensate, ne eravate già a conoscenza?