manzonis
06-01-2022, 21:22
Su consiglio di Joe77, provo a spiegare cosa si intende con il famoso tensore energia impulso T^{\mu\nu}. Qualunque critica, aggiunta o modifica è ben accetta ovviamente! :rolleyes:
Iniziamo con le equazioni di Einstein (https://www.astronomia.com/forum/showthread.php?38438-Ricavare-le-equazioni-di-Einstein) (assumiamo per comodità c=1):
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi G T_{\mu\nu}
dove R_{\mu\nu}\equiv R^\alpha_{\mu\alpha\nu} è il solito tensore di Ricci ottenuto contraendo il primo e il terzo indice del tensore di Riemann, g_{\mu\nu} è la metrica, R\equiv g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} rappresenta lo scalare di Ricci, G è la costante di gravitazione universale e infine, il nostro obiettivo, T_{\mu\nu} il tensore energia impulso. Le equazioni di Einstein quindi mettono in relazione la curvatura locale dello spaziotempo (termini di sinistra dell'equazione) con la densità di materia energia (termine di destra).
Ma cosa si intende fisicamente con T^{\mu\nu}? Iniziamo con qualcosa di più semplice: la densità numerica, cioè il numero di particelle \mathcal{N} contenute in un determinato volume a riposo \mathcal{V_*} n_*=\mathcal{N}/\mathcal{V_*}
Supponiamo che il contenitore si stia muovendo con velocità costante v. Un osservatore fermo in un secondo sistema di riferimento vedrà la scatola più corta nella direzione del moto di una costante \sqrt{1-v^2} a causa della contrazione di Lorentz. Il nuovo volume sarà quindi \mathcal{V}=\mathcal{V_*}\sqrt{1-v^2} e quindi la nuova densità numerica sarà n=\frac{\mathcal{N}}{\mathcal{V}}=\frac{\mathcal{N }}{\mathcal{V_*}\sqrt{1-v^2}}=n_*\gamma dove \gamma=(1-v^2)^{-1/2}. Definiamo ora il tensore N^\mu\equiv n_*u^\mu dove u^\mu=(\gamma,\gamma\vec{v}) è la quadrivelocità della scatola. Quindi la densità numerica è la componente temporale (indice 0) del tensore appena definito N^0=n_*u^0
La parte spaziale \vec{N} viene chiamata densità di corrente numerica e ora cerchiamo di capire perché. Supponiamo in cilindro nella scatola con altezza parallela alla direzione del moto: la sua altezza sarà vdt e l'area di base dA. Il volume vale quindi \vec{v}dt\cdot d\vec{A} e il numero di particelle compreso è \text{numero di particelle in quel volume}=\frac{n_*}{\sqrt{1-v^2}}\vec{v}dt\cdot d\vec{A} e quindi le particelle che attraversano la superficie in un tempo dt è \vec{N}d\vec{A}. In maniera del tutto analoga con la densità di corrente elettrica \vec{j}, \vec{N} è la densità di corrente numerica!
Una cosa che si può aggiungere è che il numero di particelle resta costante nella scatola: infatti (per il teorema della divergenza (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_divergenza), per i curiosi) \partial_\mu N^\mu=0. Le particelle quindi non vengono create magicamente ma restano costanti in numero nel contenitore.
Quindi per concludere questa introduzione, il numero di particelle nel volume \Delta\mathcal{V} è quindi \Delta \mathcal{N}=N^0\Delta\mathcal{V} che può essere riscritta come \Delta\mathcal{N}=n_\mu N^\mu \Delta\mathcal{V} e a seconda della scelta di n_{\mu} otteniamo i valori "spaziali" e "temporale":
N^i è quindi il flusso attraverso una superficie con vettore normale n_i
N^0 è la densità numerica (flusso attraverso la superficie con direzione parallela alla dimensione temporale)
È necessario ora generalizzare questa densità numerica: abbiamo bisogno della densità numerica di un 4-vettore, poiché l'energia e il momento sono rispettivamente le componente temporale e spaziali del quadrimomento p^\mu. Dal punto di vista matematico basta utilizzare un tensore di rango due: un elemento matematico del tipo T^{\mu\nu}, che è esattamente il nostro tensore energia-impulso! Abbiamo quindi \Delta p^\mu=T^{\mu\nu}n_{\nu}\Delta\mathcal{V} dove \Delta p^0 è l'energia nel volume \Delta \mathcal{V} e \Delta \vec{p} è la quantità di moto nel volume \Delta \mathcal{V}.
Per capire però cosa siano le componenti di T^{\mu\nu} consideriamo prima T^{\mu 0}:
T^{00}=\frac{\Delta p^0}{\Delta\mathcal{V}} cioè la densità di energia;
T^{i0}=\frac{\Delta p^i}{\Delta\mathcal{V}} cioè la densità della quantità di moto.
Possiamo quindi scrivere il tensore energia impulso in una formulazione covariante
T^{\mu\nu}=mn_*u^\mu u^\nu\equiv \mu u^\mu u^\nu
dove \mu è la densità di massa e u^\mu=(\gamma,\gamma v) la quadrivelocità.
Cosa rappresentano ora T^{0i} e T^{ij}? Possiamo scrivere
T^{01}=\frac{\Delta p^i}{\Delta A \Delta t} cioè il flusso di energia lungo la direzione x;
T^{i1}=\frac{\Delta p^i}{\Delta A \Delta t}}=\frac{F^i}{\Delta A} cioè la forza che agisce sulla superficie con normale diretta lungo x divisa per l'area
Si può generalizzare il tutto dicendo quindi che T^{0i} è il flusso di energia nella direzione i e che T^{ij} è la componente i-esima di una forza esercitata su una superficie con normale lungo j divisa per l'area (chiamato anche stress tensor)
Quindi il tensore energia impulso si riassume nella matrice
T^{\mu\nu}=\left(
\begin{array}{c|ccc}
T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\
\hline
T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\
T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\
T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c|ccc}
\text{densità di energia} & \text{flusso} & \text{di} & \text{energia}\\
\hline
\text{flusso della} & \text{Forza} & / & \text{Area} \\
\text{quantità di} & & \text{stress} & \\
\text{moto} & &\text{tensor} & \\
\end{array}
\right)
L'esempio di semplice di stress tensor è la pressione che agisce sulle pareti di un bicchiere piano d'acqua. La pressione dell'acqua è sempre perpendicolare alla superficie e quindi il tensore T^{ij} è diagonale; inoltre, la pressione è isotropa e quindi le componenti sono tutte uguali T^{11}=T^{22}=T^{33} e quindi T^{ij}=P\delta^{ij} dove P è la pressione e \delta^{ij}=1 se i=j e zero per gli altri valori è la delta di Kronecker.
Per un fluido perfetto nello spaziotempo di Minkowski possiamo scrivere il tensore energia impulso in funzione della sua densità e pressione
T^{\mu\nu}=(\rho+P)u^\mu u^\nu +P\eta^{\mu\nu}
In relatività generale con una generica metrica abbiamo la versione più generale del tensore
T^{\mu\nu}=(\rho+P)u^\mu u^\nu +Pg^{\mu\nu}
Questo è tutto! Spero di essere stato abbastanza chiaro. :confused:
In un prossimo post/commento potrei proporre (se a qualcuno interessa) la derivazione delle equazioni di Friedmann che descrivono l'espansione dello spazio.
Iniziamo con le equazioni di Einstein (https://www.astronomia.com/forum/showthread.php?38438-Ricavare-le-equazioni-di-Einstein) (assumiamo per comodità c=1):
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi G T_{\mu\nu}
dove R_{\mu\nu}\equiv R^\alpha_{\mu\alpha\nu} è il solito tensore di Ricci ottenuto contraendo il primo e il terzo indice del tensore di Riemann, g_{\mu\nu} è la metrica, R\equiv g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} rappresenta lo scalare di Ricci, G è la costante di gravitazione universale e infine, il nostro obiettivo, T_{\mu\nu} il tensore energia impulso. Le equazioni di Einstein quindi mettono in relazione la curvatura locale dello spaziotempo (termini di sinistra dell'equazione) con la densità di materia energia (termine di destra).
Ma cosa si intende fisicamente con T^{\mu\nu}? Iniziamo con qualcosa di più semplice: la densità numerica, cioè il numero di particelle \mathcal{N} contenute in un determinato volume a riposo \mathcal{V_*} n_*=\mathcal{N}/\mathcal{V_*}
Supponiamo che il contenitore si stia muovendo con velocità costante v. Un osservatore fermo in un secondo sistema di riferimento vedrà la scatola più corta nella direzione del moto di una costante \sqrt{1-v^2} a causa della contrazione di Lorentz. Il nuovo volume sarà quindi \mathcal{V}=\mathcal{V_*}\sqrt{1-v^2} e quindi la nuova densità numerica sarà n=\frac{\mathcal{N}}{\mathcal{V}}=\frac{\mathcal{N }}{\mathcal{V_*}\sqrt{1-v^2}}=n_*\gamma dove \gamma=(1-v^2)^{-1/2}. Definiamo ora il tensore N^\mu\equiv n_*u^\mu dove u^\mu=(\gamma,\gamma\vec{v}) è la quadrivelocità della scatola. Quindi la densità numerica è la componente temporale (indice 0) del tensore appena definito N^0=n_*u^0
La parte spaziale \vec{N} viene chiamata densità di corrente numerica e ora cerchiamo di capire perché. Supponiamo in cilindro nella scatola con altezza parallela alla direzione del moto: la sua altezza sarà vdt e l'area di base dA. Il volume vale quindi \vec{v}dt\cdot d\vec{A} e il numero di particelle compreso è \text{numero di particelle in quel volume}=\frac{n_*}{\sqrt{1-v^2}}\vec{v}dt\cdot d\vec{A} e quindi le particelle che attraversano la superficie in un tempo dt è \vec{N}d\vec{A}. In maniera del tutto analoga con la densità di corrente elettrica \vec{j}, \vec{N} è la densità di corrente numerica!
Una cosa che si può aggiungere è che il numero di particelle resta costante nella scatola: infatti (per il teorema della divergenza (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_divergenza), per i curiosi) \partial_\mu N^\mu=0. Le particelle quindi non vengono create magicamente ma restano costanti in numero nel contenitore.
Quindi per concludere questa introduzione, il numero di particelle nel volume \Delta\mathcal{V} è quindi \Delta \mathcal{N}=N^0\Delta\mathcal{V} che può essere riscritta come \Delta\mathcal{N}=n_\mu N^\mu \Delta\mathcal{V} e a seconda della scelta di n_{\mu} otteniamo i valori "spaziali" e "temporale":
N^i è quindi il flusso attraverso una superficie con vettore normale n_i
N^0 è la densità numerica (flusso attraverso la superficie con direzione parallela alla dimensione temporale)
È necessario ora generalizzare questa densità numerica: abbiamo bisogno della densità numerica di un 4-vettore, poiché l'energia e il momento sono rispettivamente le componente temporale e spaziali del quadrimomento p^\mu. Dal punto di vista matematico basta utilizzare un tensore di rango due: un elemento matematico del tipo T^{\mu\nu}, che è esattamente il nostro tensore energia-impulso! Abbiamo quindi \Delta p^\mu=T^{\mu\nu}n_{\nu}\Delta\mathcal{V} dove \Delta p^0 è l'energia nel volume \Delta \mathcal{V} e \Delta \vec{p} è la quantità di moto nel volume \Delta \mathcal{V}.
Per capire però cosa siano le componenti di T^{\mu\nu} consideriamo prima T^{\mu 0}:
T^{00}=\frac{\Delta p^0}{\Delta\mathcal{V}} cioè la densità di energia;
T^{i0}=\frac{\Delta p^i}{\Delta\mathcal{V}} cioè la densità della quantità di moto.
Possiamo quindi scrivere il tensore energia impulso in una formulazione covariante
T^{\mu\nu}=mn_*u^\mu u^\nu\equiv \mu u^\mu u^\nu
dove \mu è la densità di massa e u^\mu=(\gamma,\gamma v) la quadrivelocità.
Cosa rappresentano ora T^{0i} e T^{ij}? Possiamo scrivere
T^{01}=\frac{\Delta p^i}{\Delta A \Delta t} cioè il flusso di energia lungo la direzione x;
T^{i1}=\frac{\Delta p^i}{\Delta A \Delta t}}=\frac{F^i}{\Delta A} cioè la forza che agisce sulla superficie con normale diretta lungo x divisa per l'area
Si può generalizzare il tutto dicendo quindi che T^{0i} è il flusso di energia nella direzione i e che T^{ij} è la componente i-esima di una forza esercitata su una superficie con normale lungo j divisa per l'area (chiamato anche stress tensor)
Quindi il tensore energia impulso si riassume nella matrice
T^{\mu\nu}=\left(
\begin{array}{c|ccc}
T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\
\hline
T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\
T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\
T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c|ccc}
\text{densità di energia} & \text{flusso} & \text{di} & \text{energia}\\
\hline
\text{flusso della} & \text{Forza} & / & \text{Area} \\
\text{quantità di} & & \text{stress} & \\
\text{moto} & &\text{tensor} & \\
\end{array}
\right)
L'esempio di semplice di stress tensor è la pressione che agisce sulle pareti di un bicchiere piano d'acqua. La pressione dell'acqua è sempre perpendicolare alla superficie e quindi il tensore T^{ij} è diagonale; inoltre, la pressione è isotropa e quindi le componenti sono tutte uguali T^{11}=T^{22}=T^{33} e quindi T^{ij}=P\delta^{ij} dove P è la pressione e \delta^{ij}=1 se i=j e zero per gli altri valori è la delta di Kronecker.
Per un fluido perfetto nello spaziotempo di Minkowski possiamo scrivere il tensore energia impulso in funzione della sua densità e pressione
T^{\mu\nu}=(\rho+P)u^\mu u^\nu +P\eta^{\mu\nu}
In relatività generale con una generica metrica abbiamo la versione più generale del tensore
T^{\mu\nu}=(\rho+P)u^\mu u^\nu +Pg^{\mu\nu}
Questo è tutto! Spero di essere stato abbastanza chiaro. :confused:
In un prossimo post/commento potrei proporre (se a qualcuno interessa) la derivazione delle equazioni di Friedmann che descrivono l'espansione dello spazio.