Ricavare le equazioni di Einstein

[mazzolatore]

Ciao a tutti il post di manzonis, sulle geodediche mi ha ispirato a dare una riletta a qualche appunto di relatività generale, allora cercherò di collegarmi al suo discorso per arrivare alla/e famosissima equazione di Einstein.

Per non ripercorrere tutta la matematica e iniziare da troppo lontano, partiamo da alcune conoscenze ottenute preliminarmente, cioè dal tensore G_{\mu \nu}
Un tensore come questo in matematica può essere visualizzato come una matrice i cui indici possono variare, se abbiamo 3 indici il tensore G_{\mu \nu} sarà una matrice 3x3, se sono 4 una matrice 4x4, tali indici rappresentano le coordinate e visto che siamo in relatività le coordinate sono 4 (3 spaziali e 1 temporale)

1- G_{\mu \nu} è un tensore;
2- G_{\mu \nu} è lineare nelle derivate seconde, e quadratico nelle derivate prime della metrica;
3- G_{\mu \nu} è simmetrico;
4- G^{\mu \nu}_{;\nu} = 0 la Divergenza covariante è nulla
5- G_{00} = - \nabla^2 g_{00}

La 3^à proprietà ci dice che la matrice che rappresenta il tensore è simmetrica, volgarmente tale matrice è specchiata rispetto la diagonale
mentre la 5^à si ricollega al discorso che faceva manzonis, ovvero sotto le ipotesi di campo stazionario e basse velocità, la fisica relativistica si deve ricollegare alla fisica classica.
Mentre la 2^à, ci dice una proprietà algebrica che deve soddisfare tale tensore.
Come nel precedente post si vede che il tensore di Riemann è collegato ai simboli di Christoffel, i quali sono legati alla metrica.
Ora si può dimostrare che pochi sono i tensori che si possono costruire lineari nelle derivate seconde della metrica, e quadratici nelle derivate prime.
Questi tensori sono 3;
R_{\mu \nu \alpha \beta} Tensore di Riemann
R_{\mu \alpha } = g^{ \nu \beta} R_{\mu \nu \alpha \beta} Tensore di Ricci
R = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} Scalare di curvatura

Il tensore di Riemann non va bene, perchè ha 4 indici quindi lo possiamo immaginare come una matrice in 4D, il tensore di Ricci va bene, e come visto, deriva dal tensore di Riemann tramite quella "moltiplicazione" (detta contrazione)* lo scalare di curvatura è un numero, non un tensore, ma possiamo farlo diventare un tensore di rango 2 (g_{\mu \nu}R).
Allora il nostro tensore G_{\mu \nu} che deve essere lineare nelle derivate seconde e quadratico nelle prime, lo posso scrivere come combinazione lineare, del tensore di ricci e dello scalare di curvatura (che per ipotesi sono lineari nelle derivate seconde e quadratico nelle prime).
Allora G_{\mu \nu} avrà questo aspetto:

G_{\mu \nu} = A R_{\mu \nu} + Bg_{\mu \nu}R
dove A e B sono dei semplici numeri da determinare.
Bisogna ancora applicare la 4^à e 5^à ipotesi.
Usando la 4^à cosa possiamo ricavare?
Basta calcolare la divergenza covariante di G_{\mu \nu} e imporla = 0
Facciamolo.
Ora la 4à condizione però ha gli indici in alto G^{\mu \nu}_{;\nu} mentre il nostro G_{\mu \nu} li ha bassi, si può facilmente dimostrare che posso alzare e abbassare gli indici (IN QUESTO CASO) senza problemi, quindi;
G^{\mu \nu}_{;\nu} = A \biggl(R^{\mu \nu} + \frac{B}{A}g^{\mu \nu}R \biggr)_{;\nu} = 0

Adesso invece di proseguire in questo calcolo usiamo una famosa identità (identità di bianchi):

R_{\alpha \beta \mu \nu ;\lambda} + R_{\alpha \beta \nu \lambda ;\mu} + R_{\alpha \beta \lambda \mu ;\nu} = 0

Contraiamo questa espressione con g^{\alpha \mu} per ogni singolo elemento dentro la parentesi
cioè:

g^{\alpha \mu} \biggl(R_{\alpha \beta \mu \nu ;\lambda} + R_{\alpha \beta \nu \lambda ;\mu} + R_{\alpha \beta \lambda \mu ;\nu} \biggr) = 0

iniziamo dal primo
g^{\alpha \mu} R_{\alpha \beta \mu \nu ;\lambda} = (g^{\alpha \mu} R_{\alpha \beta \mu \nu})_{;\lambda} , ho portato g^{\alpha \mu} dentro la derivata covariante e lo posso fare perche la derivata covariante di g^{\alpha \mu} è nulla.
Nell'ultima espressione si contraggono 1° e 3° indice e quindi otteniamo:
g^{\alpha \mu} R_{\alpha \beta \mu \nu ;\lambda} = (g^{\alpha \mu} R_{\alpha \beta \mu \nu})_{;\lambda} = R_{\beta \nu ; \lambda}

continuiamo con il 3°
g^{\alpha \mu}R_{\alpha \beta \lambda \mu ;\nu} = - g^{\alpha \mu}R_{\alpha \beta \mu \lambda ;\nu} = -\biigl( g^{\alpha \mu}R_{\alpha \beta \mu \lambda } \biigr)_{;\nu} = -R_{\beta \lambda ;\nu}

che è lo stesso passaggio di prima, solo che appare quel segno meno, perche nel primo passaggio ho invertito \lambda con \mu e questo comporta la comparsa del segno meno, visto che il tensore di Riemann è antisimmetrico.
Il 2° pezzo lo lasciamo tale e quale, allora arriviamo alla seguente equazione:
R_{\beta\nu; \lambda} - R_{\beta \lambda ;\nu} + g^{\alpha \mu}R_{\alpha \beta \nu \lambda; \mu} = 0
che la contraiamo ulteriormente con g^{\beta \nu}

quindi avremo da fare

g^{\beta \nu} \biggl(R_{\beta\nu; \lambda} - R_{\beta \lambda ;\nu} + g^{\alpha \mu}R_{\alpha \beta \nu \lambda; \mu} \biggr) = 0
distribuiamo
g^{\beta \nu} R_{\beta\nu; \lambda} - g^{\beta \nu} R_{\beta \lambda ;\nu} + g^{\beta \nu} g^{\alpha \mu}R_{\alpha \beta \nu \lambda; \mu} = 0
R_; \lambda} - (g^{\beta \nu} R_{\beta \lambda})_{ ;\nu} + g^{\beta \nu} g^{\alpha \mu}R_{\alpha \beta \nu \lambda; \mu} = 0
il primo termine si contrae e diventa uno scalare, nel secondo termine ho portato g dentro la derivata covariante come prima, e si contrarrà diventando
R_; \lambda} - R^{\nu}_{\lambda ;\nu} + g^{\beta \nu} g^{\alpha \mu}R_{\alpha \beta \nu \lambda; \mu} = 0

Nell'ultimo pezzo di questa espressione ci lavoriamo un poco sopra, anzitutto commuto le 2 g,
g^{\beta \nu} g^{\alpha \mu}R_{\alpha \beta \nu \lambda; \mu} = g^{\alpha \mu} g^{\beta \nu}R_{\alpha \beta \nu \lambda; \mu}
entro nella derivata covariante
g^{\alpha \mu} \biggl(g^{\beta \nu}R_{\alpha \beta \nu \lambda} \biggr) _{; \mu} = -g^{\alpha \mu} R_{\alpha \lambda} _{; \mu} = -R^{\mu}_{\lambda ; \mu}

Quindi alla fine l'identità di Bianchi diventa
R_; \lambda} - R^{\nu}_{\lambda ;\nu} -R^{\mu}_{\lambda ; \mu} = 0

Notare la similitudine dei 2 ultimi termini che sono entrambi derivati in modo covariante per lo stesso indice in altro, allora li sommo (l'indice non è nulla di fisico, in questo caso posso rinominarli) ottenendo;
R_; \lambda} -2 R^{\nu}_{\lambda ;\nu} = 0
Contraendo con g^{\mu \lambda} giuro è l'ultima volta :D
che succede?
g^{\mu \lambda}R_; \lambda} -2 g^{\mu \lambda}R^{\nu}_{\lambda ;\nu} = 0
g^{\mu \lambda}R_; \lambda} -2 R^{\mu \nu}_{ ;\nu} = 0
anche qui \lambda risulta essere indice muto allora lo rinomino in \nu
g^{\mu \nu}R_; \nu} -2 R^{\mu \nu}_{ ;\nu} = 0
-2 \biggl( R^{\mu \nu} - \frac{1}{2}g^{\mu \nu} R\biggr)_{;\nu} = 0
che confrontata con:

G^{\mu \nu}_{;\nu} = A \biggl(R^{\mu \nu} + \frac{B}{A}g^{\mu \nu}R \biggr)_{;\nu} = 0
possiamo dire che sono uguali, e abbiamo scoperto che il rapporto \frac{B}{A} = -\frac{1}{2}

Vedremo come scoprire A nel prossimo post.

[mazzolatore]

Vediamo come scoprire il valore di A, e successivamente arrivare alle fantomatiche equazioni.
Fortunatamente nel discorso fatto fin'ora non abbiamo ancora utilizzato la 5^à condizione, proprio usando questa possiamo ricavare A.

Come già menzionato questa condizione ci dice che per campi deboli (non in prossimità di buchi neri per capirci, ma comunque manzonis ci ha dato un'idea della correzione al campo piatto quanto possa essere), basse velocità e campo stazionario la fisica gravitazionale, si deve tradurre in quella classica di Newton.

Trascriviamo queste 3 condizioni in matematichese.

a - g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu} con \abs h_{\mu \nu}\abs << 1 campo debole

b - \frac{dx^i}{d\tau} << \frac{dx^0}{d\tau} basse velocità

c - g_{\mu \nu , 0} = 0 stazionario

Tutto ciò come già detto implica che G_{ 0 0 } = - \nabla^2g_{0 0 }

Andiamo a vedere come possiamo scrivere il Tensore di Ricci, sotto queste ipotesi.

In generale l'espressione del tensore di Ricci è la seguente:

R_{\mu \nu} = \Gamma^\alpha_{ \mu \nu , \alpha} - \Gamma^\alpha_{\mu \alpha, \nu} + \Gamma^\alpha_{\sigma \alpha}\Gamma^\sigma_{\mu \nu} - \Gamma^\alpha_{\sigma \nu}\Gamma^\sigma_{\mu \alpha}
Dove ciascun \Gamma è il simbolo di Christoffel i quali dipendono dalla metrica g_{\mu \nu} ma dalla condizione a, la metrica puo essere espressa come la metrica piatta più una piccola perturbazione, quindi ciascun simbolo diventerebbe così;
\Gamma^\alpha_{\mu \nu} = \frac{1}{2} \biggl( \eta^{\alpha \beta} - h^{\alpha \beta} \biggr)\biggl(h_{\beta \mu , \nu} + h_{\beta \nu , \mu} - h_{ \mu \nu, \beta} \biggr)
Ora se facessimo tutti i prodotti otterremo dei termini h^2, ma h è già una perturbazione molto piccola, se ne facessimo il quadrato sarebbe ancora piu piccola, quindi possiamo tralasciare i termini in h^2
\Rightarrow
\Gamma^\alpha_{\mu \nu} = \frac{1}{2} \eta^{\alpha \beta} \biggl(h_{\beta \mu , \nu} + h_{\beta \nu , \mu} - h_{ \mu \nu, \beta} \biggr) + o(h^2)

Inoltre come si vede dall'espressione del tensore di Ricci , gli ultimi 2 termini sono il prodotto di due \Gamma, ciascuna di ordine h (per l'approssimazione appena fatta), che genererebbero termini di ordine h^2, allora anche quegli 2 ultimi termini sono trascurabili, quindi il tensore di Ricci sarà solamente:
R_{\mu \nu} = \Gamma^\alpha_{ \mu \nu , \alpha} - \Gamma^\alpha_{\mu \alpha, \nu}
Che scritto esplicitamente è:
R_{\mu \nu} = \frac{1}{2} \eta^{\alpha \beta} \biggl(h_{\beta \mu , \nu \alpha} + h_{\beta \nu , \mu \alpha} - h_{ \mu \nu, \beta \alpha} \biggr) - \frac{1}{2}\eta^{\alpha \beta} \biggl(h_{\beta \mu , \alpha \nu} + h_{\beta \alpha, \mu \nu} -h_{\mu \alpha, \beta \nu}\biggr) + o(h^2)
Facendo i calcoli, vediamo che alcuni termini si sommano altri si sottraggono
R_{\mu \nu} = \frac{1}{2}\eta^{\alpha \beta} \biggl( h_{\beta \nu , \mu \alpha} - h_{ \mu \nu, \beta \alpha} - h_{\beta \alpha, \mu \nu} +h_{\mu \alpha, \beta \nu}\biggr) + o(h^2)
Diventando infine:
R_{\mu \nu} = \frac{1}{2}\eta^{\alpha \beta} \biggl( 2h_{\beta \nu , \mu \alpha} - h_{ \mu \nu, \beta \alpha} - h_{\beta \alpha, \mu \nu} \biggr)

Calcolando R_{0 0}, otterremmo:
R_{0 0} = \frac{1}{2}\eta^{\alpha \beta} \biggl( 2h_{\beta 0 , 0 \alpha} - h_{ 0 0, \beta \alpha} - h_{\beta \alpha, 0 0} \biggr)

Ma per l'ipotesi c il campo deve essere stazionario, cioè non deve dipendere dal tempo, ergo le derivate di g_{\mu \nu}rispetto al tempo (g_{\mu \nu , 0} = 0 ) sono nulle.
Di conseguenza anche le derivate della perturbazione h, rispetto al tempo sono nulle, quindi che succede?
Che sono 1 di quei 3 termini sopravvive, l'unico che non ha le derivate rispetto al tempo
R_{0 0} =- \frac{1}{2}\eta^{\alpha \beta} h_{ 0 0, \beta \alpha}
Visto che \eta è una matrice 4x4 diagonale (metrica di minkowsky), considerando che non posso utilizzare \eta^{ 0 0}, l'ultima espressione ci diche che:
R_{0 0 } = - \frac{1}{2} \nabla^2 h_{ 0 0} cioè è legato alla divergenza al quadrato di h_{ 0 0 }

Questa espressione che l'andremo a sostituire nella formula di G_{ 0 0 }
G_{0 0 } = A \biggl( R_{ 0 0 } - \frac{1}{2} \bigl(g_{0 0 }\bigr) R \biggr)
G_{0 0 } = A \biggl( R_{ 0 0 } - \frac{1}{2} \bigl(\eta_{0 0} + h_{ 0 0 }\bigr) R \biggr)
che diventa:
G_{0 0 } = A \biggl( R_{ 0 0 } - \frac{1}{2}\eta_{0 0} R \biggr)
Perche R è di ordine h
\eta_{ 0 0} nella metrica di minkowsky vale -1
G_{0 0 } = A \biggl( R_{ 0 0 } + \frac{1}{2} R \biggr)

Che andrà confrontata con G_{ 0 0 } = - \nabla^2g_{0 0 }
quindi
G_{0 0 } = A \biggl( R_{ 0 0 } + \frac{1}{2} R \biggr) = - \nabla^2g_{0 0 }

Per stimare A perciò ci basta trovare R.

Usiamo l'ipotesi di basse velocità \frac{dx^i}{d\tau} << \frac{dx^0}{d\tau} che si traduce in:
T^{i j} << T^{0 0 }
Basta infatti vedere la forma del Tensore energia impulso, per particelle
T^{\alpha \beta} = c^2 {\sum_{r = 1}^\N } \frac{p^\alpha_r p^\beta_r }{E_r} \delta^{(3)} \biggl( \varepsilon-\varepsilon(t) \biggr)

Essendo p^i = \frac{dx^i}{d\tau} e p^0 =\frac{dx^0}{d\tau} è chiaro che se
\frac{dx^i}{d\tau} << \frac{dx^0}{d\tau}
\Rightarrow
T^{i j} << T^{0 0 }

Questo ci è utile proprio adesso perchè per stimare A rimane da calcolare
g^{\mu \nu} G_{\mu \nu}
Dove per G_{\mu \nu} conosciamo 2 espressioni:
G_{\mu \nu} = A\biggl(R_{\mu \nu} -\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R\biggr)
G_{\mu \nu} = \frac{8{\pi}G}{c^4}T_{\mu \nu}

Passiamo a fare il calcolo
g^{\mu \nu} G_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} A\biggl(R_{\mu \nu} -\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R\biggr) = A\biggl(g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} -\frac{1}{2}g^{\mu \nu}g_{\mu \nu} R\biggr) =
A\biggl(R -\frac{1}{2}g^{\mu \nu}g_{\mu \nu} R\biggr) = A(R-2R) = -AR
Mentre
g^{\mu \nu} G_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} \frac{8{\pi}G}{c^4}T_{\mu \nu} =\frac{8{\pi}G}{c^4} g^{\mu \nu} T_{\mu \nu} \cong -\frac{8{\pi}G}{c^4} T_{ 0 0 } = -G_{0 0 }
\Rightarrow
G_{0 0 } = AR
D'altro canto
G_{ 0 } = A\biggl(R_{ 0 0} + \frac{1}{2} R\biggr) = A*( -\frac{1}{2}\nabla^2 h_{0 0}) + \frac{1}{2}AR
\Rightarrow
\frac{1}{2} G_{0 0 } = -A\frac{1}{2} \nabla^2 h_{0 0}
ma G_{ 0 0 } = -\frac{1}{2} \nabla^2 h_{0 0}
\Rightarrow
-\frac{1}{2} \nabla^2 h_{0 0} = -A\frac{1}{2} \nabla^2 h_{0 0}
il che significa che A = 1

Quindi l'espressione di G_{\mu \nu} = \frac{8{\pi}G}{c^4} T^{\mu \nu}
può essere uguagliata a:
G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R
ottenendo

R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R = \frac{8{\pi}G}{c^4} T^{\mu \nu}

Che sono le equazioni di Einstein, sono al plurale perché gli indici \mu , \nu variano da 0 a 3 , quindi 4 indici, e tutte le possibili combinazioni sono 16.
Quindi sono 16 equazioni, che costituiscono un sistema di equazioni differenziali, non lineari, alle derivate parziali.
Un bel casino, ma pur essendo cosi complicato il sistema, in determinate condizioni si semplifica notevolmente e consente delle soluzioni analitiche

[etruscastro]

ti dico mi piace... sulla fiducia! ;)

[nicola66]

etruscastro in pochi l’avrebbero fatto 🤣👏👏👏

[Albertus]

Un bel casino, ma pur essendo cosi complicato il sistema, in determinate condizioni si semplifica notevolmente e consente delle soluzioni analitiche

sarebbe interessante vedere un applicazione semplificata ma reale di tale equazioni

[mazzolatore]

Una soluzione esatta alle equazioni di Einstein è stat ricavata da Schwarzschild niente popò di meno che 2 mesi dopo la pubblicazione dell'articolo di Einstein.
La soluzione proposta da Schwarzschild descrive il campo gravitazionale esterno a qualsiasi oggetto a simmetria sferica NON rotante.
Perciò le ipotesi di Schwarzschild erano 3:
1-Usare le equazioni di Einstein nel vuoto
2-Staticità
3-Simmetria sferica

L'ipotesi di vuoto è immediata da tradurre matematicamente
T_{\mu \nu} = 0
Il tensore energia impulso deve essere nullo, siamo nel vuoto d'altronde.

La richiesta di staticità (del campo gravitazionale) in questo ambito è più sottile, per semplicità immaginiamo la staticità sinonimo di stazionarietà, cioè il campo non cambia nel tempo, il che significa che se facciamo le derivate rispetto la coordinata temporale (che ci dicono la variazione del campo nel tempo) saranno nulle.
Più brevemente g_{\mu \nu, 0} = 0
Dove quel 0 sta per derivata rispetto al tempo, 1 sta per coordinata x, 2 = y , 3 = z.
La metrica sotto queste ipotesi è la seguente:
dS^2 = g_{0 0 }(x^1,x^2,x^3)(dx^0)^2 + g_{i j}(x^1,x^2,x^3)dx^idx^j
Con i, j che valgono 1,2,3, cioè rappresentano le 3 variabili spaziali.
Da notare che non ci sono i termini misti, cioè g_{0 i}dx^0dx^i

La richiesta di sfericità, che cosa comporta invece?
dS^2 = g_{0 0 }(x^1,x^2,x^3)(dx^0)^2 + g_{i j}(x^1,x^2,x^3)dx^idx^j
Che l'ultimo pezzo della metrica lo possiamo scrivere con le coordinate sferiche 3D.
E senza troppi sofismi lo possiamo scrivere così:
g_{r r }dr^2 + r^2(d\theta^2 + sin^2(\theta)d\phi^2)
Quindi la metrica è ridotta a questo:
dS^2 = g_{0 0 }(r)(dx^0)^2 + g_{r r }(r)dr^2 + r^2(d\theta^2 + sin^2(\theta)d\phi^2)
Ora giusto per completezza è da notare che g_{ 0 0} , g_{r r}, dipendono esclusivamente dalla coordinata radiale, infatti la dipendenza temporale è stata esclusa dalla stazionarietà, e la dipendenza da \phi e \theta è stata esclusa dalla sfericità.

Qui viene il punto centrale della situazione, possiamo scrivere
g_{ 0 0}(r) = -e^{-2\nu(r)}
g_{ r r}(r) = e^{2\lambda(r)}
con \nu(r) e \lambda(r) funzioni incognite.
Ma non ricordo il perchè :D
Non so se hanno qualcosa il particolare oppure è solo una questione di comodità rilegare l'incognita di g_{ 0 0} e g_{r r} a \nu(r) e \lambda(r)
Ad ogni modo scelte queste 2 funzioni (che ripeto devono essere determinate)


dS^2 =
\begin{pmatrix}
-e^{-2\nu(r)} & 0 & 0 & 0 \\
0 & e^{2\lambda(r)} & 0 & 0 \\
0 & 0 & r^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & r^2sin^2(\phi)
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
(dx^0)^2 \\
dr^2 \\
d\theta^2\\
d\phi^2

\end{pmatrix}


Possiamo ora calcolare G_{ 0 0}, G_{ r r },G_{ \theta \theta},G_{ \phi \phi}

Tramite l'equazione di Einstein trovata nello scorso post.

G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} -\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R = \frac{8 \pi G}{c^4}T_{\mu \nu}

ma: T_{\mu \nu} = 0
\Rightarrow
G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} -\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R =0
E si fanno i calcoli per ciascun termine , che sono 16, e per ciascuno bisogna calcolare l'R_{\mu \nu} in particolare.
cioè se volessi calcolare G_{0 r} dovrei fare:
G_{0 r } = R_{0 r } -\frac{1}{2}g_{0 r}R
dove
R_{0 r} = \Gamma^\alpha_{ 0 r , \alpha} - \Gamma^\alpha_{ 0 \alpha, r} - \Gamma^\alpha_{\sigma r}\Gamma^\sigma_{ 0 \alpha} - \Gamma^\alpha_{\sigma \alpha}\Gamma^\sigma_{\0 r}
Ecc ecc.
Come detto prima le uniche che sopravvivono sono:
G_{ 0 0}, G_{ r r },G_{ \theta \theta},G_{ \phi \phi}, lo si vede ad occhio notando che la matrice è diagonale, sopravvivono sono i termini diagonali, quindi da 16 a 4, è gia un bel risparmio di forze.
I risultati sono:
G_{ 0 0} = \frac{1}{r^2} e^{2\nu} \frac{d}{dr}\biggl[r(1-e^{-2\lambda})\biggr] = 0
G_{ r r } = -\frac{1}{r^2} e^{2\lambda} \biggl[(1-e^{-2\lambda})\biggr] + \frac{2}{r} \nu_{,r} = 0
G_{\theta \theta} = r^2 e^{-2\lambda} \biggr[\nu_{,rr} + \nu^2_{,r} + \frac{\nu_{,r}}{r} - \nu_{,r}\lambda_{,r} - \frac{\lambda_{,r}}{r}\biggr] = 0
G_{\phi \phi} = sin^2(\theta)G_{0 0} = 0
Vi risparmio la risoluzione di questo sistema e vi lascio la soluzione:
dS^2 = - \biggl(1- \frac{k}{r}\biggl)e^{2\nu_{0}} (dx^0)^2 + \frac{1}{1-\frac{k}{r}}dr^2 + r^2(d\theta^2 + sin^2\theatd\phi^2)
Facendo una leggera trasformazione, estetica diventa:
dS^2 = - \biggl(1- \frac{k}{r}\biggl) (dx^0)^2 + \frac{1}{1-\frac{k}{r}}dr^2 + r^2(d\theta^2 + sin^2\theatd\phi^2)
dove dx^0 = c^2 dt^2 e k = \frac{2GM}{c^2}
quindi:
dS^2 = - \biggl(1- \frac{2GM}{c^2r}\biggl) c^2dt^2 + \frac{1}{1-\frac{2GM}{c^2r}}dr^2 + r^2(d\theta^2 + sin^2\theatd\phi^2)
Questa viene detta Soluzione di Schwarzschild, notare che è una soluzione ESATTA, dove non abbiamo fatto alcuna approssimazione.
Che descrive lo spazio-tempo attorno a una massa sferica, non rotante e priva di carica elettrica.

[mazzolatore]

Il parametro k = \frac{2GM}{c^2} viene detto Raggio di Schwarzschild.
Tale parametro è quello che mi crea delle singolarità nella metrica di Schwarzschild. Che non vanno confuse con la singolarità del buco nero.
Un buco nero è un corpo che ha un Raggio < del Raggio di Schwarzschild.
Per il sole vale 2.9km
Per la terra 8.9 millimetri.
Per la via lattea \approx 0.2 anni luce.

[Alby68a]

Anche io ti seguo a fiducia. Bravissimo.

[Giovanni1971]

Beh, che dire... anch’io a fiducia, e neanche seguo :biggrin: complimenti e grazie per l’iniziativa.

Mi sorge una curiosità da profano: con la relativita’ generale Einstein riuscì a giustificare una discrepanza di 43 arcosecondi/secolo nell’orbita di Mercurio rispetto a quella calcolata teoricamente in base alle fisica classica di Newton. In precedenza alla scoperta di Einstein era stata ipotizzata l’esistenza di un ulteriore pianeta (Vulcano) vicino al Sole la cui attrazione gravitazionale su Mercurio avrebbe spiegato tale discrepanza (un po’come le “perturbazioni” nell’orbita di Urano, che hanno consentito di arrivare alla scoperta di Nettuno per via teorica, prima della sua effettiva osservazione).

Queste formule c’entrano qualcosa o si riferiscono a tutt’altro?

[Albertus]

grazie mazzolatore

Un altro post impeccabile , non solo per fiducia dato che qualcosa , questa volta l'ho capita :)
solo per curiosità
le equazioni differenziali di Einstein come molte altre della fisica sono non lineari , la soluzione analitica è quasi sempre impossibile
Per casi più complessi di quello citato si ricorre quindi al calcolo numerico
Che tu sappia in ambito accademico o professionale si usano software tipo Mathematica o Matlab oppure si implementano algoritmi dedicati ad ogni particolare equazione in C or Python o altri linguaggi di programmazione ?
chiedo questo in quanto mi diletto a risolvere e equazioni differenziali alle derivate parziali con il metodo delle differenze finite in python
per equazioni non omogenee e non lineari la complessità dell'algoritmo di calcolo cresce esponenzialmente
Ho anche Mathematica e Matlab ma con certe equazioni non funzionano e non c'è verso di farli funzionare

[mazzolatore]

Mi sorge una curiosità da profano: con la relativita’ generale Einstein riuscì a giustificare una discrepanza di 43 arcosecondi/secolo nell’orbita di Mercurio rispetto a quella calcolata teoricamente in base alle fisica classica di Newton.
Queste formule c’entrano qualcosa o si riferiscono a tutt’altro?

C'entrano c'entrano.
Come detto nel precedente post, la metrica di Schwarzschild, descrive lo spazio-tempo esternamentee a qualsiasi sorgente Sferica non rotante (dalla semplice stella, fino ai buchi neri) quindi anche il caso di Mercurio è compreso in questo argomento.

Bisogna distinguere bene però la scoperta di Nettuno e la precessione di Mercurio. Per la scoperta di Nettuno sono state usate le equazioni di Newton, che hanno predetto che tipo di oggetto serviva per avere delle fluttuazioni sul moto di Urano.
Mentre la precessione di Mercurio era inspiegabile tramite le leggi di Newton, un effetto che solo con l'introduzione della relatività è spiegabile, e che tra l'altro è stato uno dei banchi di prova della Teoria della Relatività.

Se volessimo fare il calcolo per misurare questa precessione, (precessione del peri-elio in questo caso, si dice del peri-astro in generale, dal greco peri = attorno) bisogna capire bene che cosa è.
Vediamo una foto:
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Praticamente Mercurio nel suo moto ellittico, non fà un orbita Chiusa, nel senso che ripassa sopra se stessa ogni anno, ma la massima distanza dal sole (peri elio) cambia e precede di un certo angolo.
Questo effetto fa si che l'orbita del pianeta apparirebbe come come i petali di un fiore, ma è un effetto comunque molto piccolo.
Ora senza perderci in troppi calcoli, dalla metrica di Schwarzschild, si riesce ad arrivare alle 4 equazioni parametriche, che descrivono il moto di un corpo esternamente alla sorgente del campo gravitazionale, al variare del parametro \lambda

x^{\mu}(\lambda) = ( t(\lambda), r(\lambda),\theta(\lambda), \phi(\lambda))

Bisogna considerare che in queste equazioni, c'è stato un cambio di coordinate, tipo che ,c = 1, senza dimensione, e altri cambiamenti di questo genere, per semplificare la notazione e i calcoli.

E i dati iniziali del problema sono:
\dot{r}^2 = E^2 -V(r)

\dot{\phi} = \frac{L}{r^2}

\theta = \frac{\pi}{2}

V(r) = \biggl(\frac{L^2}{r^2}+1\biggr)\biggl(1-\frac{2m}{r}\biggr)

Dove \theta = \frac{\pi}{2} è il piano su cui avviene l'orbita, e per via della simmetria sferica, è indifferente.
E,L sono l'energia e il momento angolare della particella che ruota attorno al sole.
m è "la massa del Sole", per la precisione m = \frac{GM}{c^2}

Ora un semplice metodo, per capire se ci troviamo in un campo Gravitazionale forte o debole è mettere in relazione la distanza dall'aggetto che genera il campo e la massa di questo.
Se lo calcoliamo per Mercurio, vale:
\frac{m}{r} \cong 2.5*10^{-8}

Ora se ci allontaniamo questo numero sarà più piccolo, allora il massimo effetto di precessione si avrà su Mercurio.

Sviluppando la prima equazione quella di \dot{r}^2, e portando tutto dalla stessa parte dell'uguale, otteniamo:

\dot{r}^2 -E^2 + \frac{L^2}{r^2} - \frac{2mL^2}{r^3} +1-\frac{2m}{r} = 0

e definendo u = \frac{1}{r} nuova variabile diventa:

L^2u'^2 -E^2 +L^2u^2 -2mL^2u^3 -2mu = 0

Deriviamola rispetto alla coordinata r (distanza dal corpo sorgente del campo), e semplificando otteniamo:
u" + u -3mu^2 -\frac{m}{L^2} = 0
Da notare che nelle medesime condizioni, l'equazione del moto in fisica Newtoniana era:
u" + u -\frac{m}{L^2} = 0

Quindi uguali a meno di un termine, che se ci si ragiona un attimo sopra, si vede che è un termine perturbativo.
Quindi possiamo iniziare a risolvere l'equazione di Newton imperturbata e poi finire con la soluzione completa.
Per il momento salto tutto il procedimento di calcolo ( è una semplice equazione differenziale di 2° grado, la cui soluzione è un oscillatore armonico) e viene:

u = \frac{m}{L^2} \biggl(1 + Ecos\bigl(\phi(1-\frac{3m^2}{L^2})\bigr)\biggr)

Ora u = \frac{1}{r}, quindi se vogliamo capire quando avviene il perielio (cioè distanza minima) dobbiamo trovare per quale valore del coseno otteniamo il massimo.
E otteniamo il massimo quando il coseno = 1, allora l'argomento del coseno deve essere = 0 o multiplo di 2\pi, quindi:

\phi\biggl(1-\frac{3m^2}{L^2}\biggr) = 2\pi

Quindi:
\phi = \frac{2\pi}{\biggl(1-\frac{3m^2}{L^2}\biggr)}

E vediamo che è di più di 2\phi, che equivale a un giro, ma è un pò di più.
Per calcolarlo, facciamo una piccola approssimazione, moltiplichiamo e dividiamo per il denominatore, ma con il segno +:

\phi = \frac{2\pi}{\biggl(1-\frac{3m^2}{L^2}\biggr)} \frac{\biggl(1+\frac{3m^2}{L^2}\biggr)}{\biggl(1+\ frac{3m^2}{L^2}\biggr)} = \frac{2\pi\biggl(1-\frac{3m^2}{L^2}\biggr)}{1-(1-\frac{3m^2}{L^2})^2} \cong 2\pi\biggl(1-\frac{3m^2}{L^2}\biggr) = 2\pi - \frac{6\pi m^2}{L^2}

Quindi c'è una precessione del perielio di un angolo pari a:
\delta\phi = \frac{6\pi m^2}{L^2}
Che se sostituiamo i valori per il sole e il momento angolare di mercurio, otteniamo 43 secondi d'arco ogni secolo.
Le misure dell'epoca erano di 42.98 \pm 0.04), quindi un primo punto a favore della relatività speciale, che successivamente se l'è dovuta vedere con il fenomeno della deflessione della luce e lo spostamento gravitazionale delle linee spettrali, tutti perfettamente spiegabili con tale teoria.

Giusto per renderci dell'idea di quanto il nostro solo sia una stella poco estrema, si può calcolare e misurare che in alcune stelle di neutroni, si possono avere delle precessioni dei perieli, anche dell'ordine di 15° ogni anno.:disgusted:

[mazzolatore]

Che tu sappia in ambito accademico o professionale si usano software tipo Mathematica o Matlab oppure si implementano algoritmi dedicati ad ogni particolare equazione in C or Python o altri linguaggi di programmazione ?


Esatto sono equazioni non solo non lineari, ma alle derivate parziali, e per giunta tensoriali, e il sistema ha non poche equazioni.
Inoltre per completezza, anche le semplici equazioni lineari di secondo grado non sono tutte risolvibili analiticamente, anzi della infinita serie di equazioni che uno può inventare, solo una infinitesima parte è calcolabile a mano.

Posso darti una risposta parziale: per quel che è la mia esperienza (accademica) non ho mai usato software per integrare le equazioni, ma scrivevo proprio il codice in C, e C++. E SI, i codici diventano esageratamente lunghi, a meno che uno non è abbastanza pazzo, da scrivere un programma che genera il codice del programma da integrare
So che anche ricercatori, utilizzano frequentemente il C per la risoluzione non solo di equazioni differenziali, ma anche per altri problemi.

Per gli altri programmi non li ho mai visti ne utilizzati, non sò proprio . :confused:

[Giovanni1971]

A questo punto non posso non citare un passo di un libro che sto leggendo, anzi, magari appena finito ne faccio una piccola recensione sul forum.

“Einstein himself, in a letter to Fokker, recounts that calculating this correction in his theory and finding a result of 43 arcseconds caused him palpitations of the heart for several days. His friend and biographer Adam Pais further states that this was the strongest emotional experience of Einstein's scientific career and possibly of his whole life”

Grazie mille per la spiegazione mazzolatore. È davvero bello vedere la ricostruzione formale del ragionamento (almeno per il poco che riesco a seguirne, se no viene un attacco cardiaco anche a me :biggrin:)

[Albertus]

saluti

sembra però che Einstein abbia commesso un errore nel calcolo dello spostamento del perielio di Mercurio
qualcuno sa di che errore si tratta ?
tra l'altro il manoscritto originale è stato venduto all'asta per qualche milione di dollari

[mazzolatore]

Già che abbiamo toccato l'argomento della precessione del perielio nel moto di Mercurio, possiamo analizzare un'altra applicazione, che si può fare sotto l'ipotesi di campo generato da una distribuzione di massa non rotante e a simmetria sferica.
Sto parlando dell'effetto della deflessione della luce, vediamo come si ricava la formula per poterla calcolare, e facciamo alcuni esempi.
Come noto la luce la possiamo considerare come una particella a massa nulla, quindi dobbiamo studiare il moto della particella nel campo generato dalla distribuzione sferica di materia.
Il moto di tale particella è descritto chiaramente dalla seguente n-pla di equzioni:

x^{\mu} (\lambda} = \biggl(t(\lambda), r(\lambda),\theta(\lambda) = \frac{\pi}{2}, \phi(\lambda)\biggr)

Dove la particella la posiamo nel piano "equatoriale" , quindi del piano su cui si muove rimane costante a \frac{\pi}{2}

\dot{r} = \pm \sqrt{E^2 - V(r)}

\dot{\phi} = \frac{L}{r^2}

e il potenziale è leggermente differente dall'altro caso, questa volta perchè a differenza del caso di mercurio, la particella è senza massa

V(r) = \frac{L^2}{r^2} \biggl(1- \frac{2m}{r}\biggr)

Inseriamo uno schema per capire bene le variabili in gioco:

45859

Questo schema rappresenta il corpo sferico al centro del piano cartesiano, la posizione della luce che verrà deflessa, è data dalle variabili r,\phi.
b rappresenta il parametro d'impatto, cioè a che distanza dalla distribuzione di materia passa la luce imperturbata.
La linea verticale sulla destra rappresenta la traiettoria imperturbata, mentre la curva mostra la traiettoria della luce che farà per via della deflessione.
Il tutto visto dall'alto.
Da notare che il piano su cui si muove la luce non cambia.

Per calcolare l'angolo di deflessione, partiamo dal capire la relazione r(\phi), che ci dice appunto in funzione dell'angolo \phi, quanto vale r.

Come per il caso di Mercurio, identifichiamo con u, la variabile data da u = \frac{1}{r}, e se dobbiamo scoprire r(\phi), allora anche la u, sarà funzione di \phi

Per non essere pedanti, sottointendiamo queste dipendenze (per essere pedanti la notazione sarebbe questa u(r(\phi(\lambda)))), cioè u dipende da r, che dipende da \phi che dipende dal parametro \lambda
Adesso non ci resta che impostare il Problema di Cauchy e risolverlo.

Anzitutto le condizioni iniziali dobbiamo capire quando vale u(0) e u'(0)

dove con zero intendiamo l'istante iniziale, ovvero stiamo indicando un istante temporale in cui la luce è molto lontana dal corpo che genera il campo.
Quindi tradotto in parametro \lambda = -\infty, quando stiamo cosi lontano l'angolo \phi lo posiamo approssimare a zero, e quindi r tende a infinito, allora la funzione u(0) = 0


Per quanto riguarda u'r(\phi)) dobbiamo calcolarlo.

Il parametro b d'impatto, b = \lim_{\phi \to 0} = r(\phi) sin(\phi) \approx r \phi

Perche il seno per il suo argomento che tende a zero, è approssimabile come il suo argomento.
Quindi \phi = \frac{b}{r} e quindi \frac{d\phi}{dr} \approx -\frac{b}{r^2}
Quindi \frac{dr}{d\phi} = -\frac{r^2}{b} = r'
Perciò u'(r(\phi)) = \frac{-r'}{r^2}
Sostituendo il valore di r' otteniamo che u'(0) = \frac{1}{b}

Per finire dobbiamo scrivere l'equazione da integrare, con qualche calcolo algebrico di questo genere si arriva :



\begin{cases}
u" + u -3mu^2 = 0 \\
u(0) = 0 \\
u'(0) = \frac{1}{b}
\end{cases}

Bisogna risolvere questo problema e trovare u, una volta noto, imponiamo che u(\pi + \delta) = 0, e quindi possiamo scovare il valore di \delta.

Come vedete la fatica di scrivere tutto in funzione di u, ci è stata ripagata, perche in questa variabile, l'equazione differenziale è molto semplice e risolvibile quasi immediatamente.
Perciò evitiamo i calcoli e vediamo direttamente la soluzione:

u(\phi) = \frac{1}{b} sin(\phi) + \frac{3m}{2b^2} \biggl(1 + \frac{1}{3} cos(2\phi) -\frac{4}{3} cos(\phi)\biggr)

Imponendo che u(\pi + \delta) = 0

Otteniamo

-\frac{\delta}{b} + \frac{4m}{b^2}

ergo

\delta = \frac{4m}{b}

Se per esempio inseriamo i dati per il Sole, dove m = massa, e b parametro d'impatto imponiamo che sia pari al raggio solare, cioè simuliamo che la luce di una galassia lontana passi redente alla superficie solare, allora tale luce verrà deflessa di un angolo pari a 1.75" d'arco

Potreste divertirvi a calcolare come sarebbe la deflessione della luce, per altri oggetti tipo ,nane brune, nane bianche, galassie ecc, tenendo presente che questo risultato è stato ottenuto sotto le ipotesi di campo debole e per oggetti sferici non rotanti.

Quindi se ci discostiamo da questi presupposti il risultato non sarà del tutto attendibile.

E ricordando che m = \frac{GM}{c^2}
Quindi \delta = \frac{4*G*M}{b c^2}

[manzonis]

mazzolatore bellissima discussione complimenti!!
Rigorosamente perfetta! ;)

[Joe77]

Nel secondo post non mi torna il passaggio dove ricavi https://www.astronomia.com/forum/vlatex/pics/69_573f347b76e1586e3cd138507428f11b.png
Se hai voglia me lo spieghi
Ammesso che non sia troppo lungo

[Joe77]

Comunque grandissimo

[manzonis]

Nel secondo post non mi torna il passaggio dove ricavi https://www.astronomia.com/forum/vlatex/pics/69_573f347b76e1586e3cd138507428f11b.png
Se hai voglia me lo spieghi
Ammesso che non sia troppo lungo

Ciao, banalmente basta ricordare che g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=g^{00}g_{00}+g^{11}g_{11}+g^{ 22}g_{22}+g^{33}g_{33}=1+1+1+1=4 e quindi si arriva alla relazione che hai citato.
Spero di essere stato chiaro ;)

[manzonis]

Joe77 per essere più precisi possiamo dire che per definizione g^{\alpha\beta} è detta metrica inversa e si ha che g^{\alpha\beta}g_{\beta\gamma}=\delta^\alpha_\gamm a dove \delta^\alpha_\gamma è la delta di Kronecker che vale 1 per \alpha=\gamma e zero per ogni altro valore. Essendo g_{\mu\nu} simmetrica possiamo dire che g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu} e quindi g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}g_{\nu\mu}=\delta^\ mu_\mu=1. Dato che gli indici vanno sommati (per la convenzione di Einstein) abbiamo che g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=\delta^{\mu}_\mu=\delta^0_0+\ delta^1_1+\delta^2_2+\delta^3_3=1+1+1+1=4.

[Joe77]

Grazie
Procedo nella gradevole lettura
Sono un pochetto arrugginito.Magari disturberò ancora

[manzonis]

Figurati! ;)

[Joe77]

Secondo post finito
Sbaglio o manca un pedice Goo e non Go giusto?
Intendo qui
https://www.astronomia.com/forum/vlatex/pics/101_fc723bae09661b0c287d4812e35f9da8.png

[mazzolatore]

Esattamente, altrimenti non avrebbe senso, ho dimenticato di scriverlo, con questo tipi di calcoli è un attimo a perdere qualche pedice di qua, e qualche apice di là, hahaha.

[Joe77]

Sarebbe bello che qualcuno scrivesse due righe sul tensore energia impulsò.
O magari qualcosa di più…
Che dite:cool::whistling:

[manzonis]

Ciao Joe77, appena ho tempo, magari domani, provo ad aprire una discussione su questo argomento!! :)