metodo di calcolo degli equinozi e dei solstizi degli antichi astronomi

[astrifiammante]

Un saluto a tutto il forum. Ho una curiosità da chiedere. In che modo Ipparco, Tolomeo ecc. calcolavano gli istanti degli equinozi e dei solstizi? Sicuramente il cerchio di ipparco è da scartare visto le notevoli incertezze sul suo allineamento, su eventuali deformazioni che presenta e per gli errori sistematici della rifrazione vicino all'orizzonte. Sembra assodato, almeno da quanto ho trovato in rete, che veniva usato il plinto per tali misure ovvero un quadrante con un raggio grande in modo tale da "ingrandire" la lunghezza di un arco corrispondente alla sensibilità dello strumento. In particolar modo avendo un plinto di 2 metri ad un arco di 1 centimetro circa corrisponde un angolo di 15 primi (0,25 gradi). E' difficile suddividere un segmento di 1 cm in frazioni più piccole. Perciò è da presupporre che alla divisione più piccola dello strumento debba coincidere un arco di 1cm. Nonostante ciò in rete ho trovato che i greci arrivavano ad una sensibilità di 12 primi (non so come). Occorrerebbe costruire un plinto con raggio maggiore ma , molto probabilmente, era difficile ottenere strumenti più alti (non so perchè..). Comunque come noto col plinto si poteva misurare l'altezza e qunidi la declinazione del sole ogni mezzodì. Molti siti fanno menzione dell'interpolazione e dunque nel caso dei solstizi l'istante solstiziale è la media fra due istanti (uno precedente e uno successivo il solstizio) con la stessa declinazione, nel caso degli equinozi si fa la media fra due istanti aventi due declinazioni in modulo uguali e di segno opposto. Purtroppo l'interpolazione viene fatta quando si hanno in mano dei valori con una certa precisione. Nel nostro caso sono affetti da notevoli incertezze che rendono i valori in oltre non strettamente crescenti nel caso degli equinozi. Seguendo il discorso fatto qui:( https://people.sc.fsu.edu/~dduke/episodes3.pdf ) ho simulato, con foglio di calcolo, un possibile set di misure prendendo i valori esatti con Stellarium e generando una distribuzione casuale normale con deviazione standard pari alla sensibilità dello strumento (15 primi d'arco) usando l'algoritmo di Box Muller. Nel file xls allegato i valori generati sono nel foglio 1. La declinazione ovviamente è data dalla differenza fra l'altezza e la latitudine (ho preso quella di Roma ad esempio con l'approssimazione ai 15 primi). Ho considerato soltanto l'elaborazione dell'equinozio primaverile. Come si vede dal grafico nel foglio 4 i valori si avvicinano bene ad una retta.
Il metodo dei minimi quadrati è da escludere, un antico astronomo non lo poteva conoscere. L'articolo che ho letto, link sopra, prima va a vedere in quale giorno accade l'equinozio, poi prende i valori relativi ad un giorno prima ed un giorno dopo l'equinozio, poi a due giorni prima e due giorni dopo l'equinozio ecc. Con tali coppie di valori si calcola, in generale, diversi istanti degli equinozi e ne va a fare la media e la deviazione standard. Nel foglio 4 xls ho eseguito tale operazione. Il risultato è abbastanza soddisfacente poichè prevede l'equinozio il 20 marzo 1018 alle 11.36 con un'incertezza di circa nove ore (valore esatto equinozio 17:15 del 20 marzo). In quest'ottica allora bisognerebbe, più che altro, calcolare l'istante dell'equinozio con tutte le possibili coppie che possiamo formare con i valori rilevati. Potremmo pensare di escludere i dati che si allontanano molto dall'andamento lineare per evitare di aumentare le incertezze. E' quello che ho provato a fare nel foglio 6. Nelle cell AJ 38 e 39 in rosso sono riportati il valore medio e la deviazione standard di tutte le possibili coppie di valori formabili (esclusi quelli eliminati segnati in giallo nella colonna A del foglio 4). Però in tal modo l'incertezza è lievitata ad un giorno e mezzo!. In oltre anche il valore medio si è scostato notevolmente . Qualcuno sa come si deve effettuare il calcolo alla maniera degli antichi? Non è una curiosità storica, ma un interesse logico.
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[etruscastro]

sposto in -meccanica celeste-

[astrifiammante]

Qualcuno sa rispondermi? E' un dubbio che mi tormenta

[Red Hanuman]

astrifiammante vorrei darti una risposta, ma il problema è trovare le fonti a cui attingere.
Proverò nel weekend ad informarmi meglio...

[astrifiammante]

Grazie Red Hanuman per la tua cortesia. Mi rispondi sempre:D. Ho pensato ad un'altra cosa. Il metodo dei minimi quadrati da risultati soddisfacenti, prova a dare un'occhita all'allegato xls. Stavo pensando: il metodo dei minimi quadrati era alla portata anche dei greci. La condizione di minimo della somma delle varianze non richiede, almeno per il caso della retta di best fit, l'uso di derivate. Si tratta di trovare il vertice (minimo) del paraboloide ellittico:

S(m,q) = \sum_{k=0}^n (y_k-m x_k -q)^2

ove, le due variabili m e q sono i parametri della retta dei minimi quadrati y = m x +q. Il vertice lo si ottiene considerando le due condizioni che sia la sua ascissa che la sua ordinata facciano parte dei vertici delle parabole di sezione longitudinale e trasversale, ovvero m e q devono soddisfare:

\sum_k y_k - m \sum_k x_k - nq = 0
\sum_k x_k y_k - m \sum_k x_k^2 - q \sum_k x_k = 0

che è il sistema dal quale si ricavano m e q. Ho però due dubbi sui valori ricavati nel foglio 2 del file xls.


Ho effettuato le mie misure con un plinto di sensibilità 0,25°. La declinazione l'ho ottenuta dalla differenza fra l'altezza h e la latitudine \lambda. Perciò l'incertezza sulla declinazione dovrebbe essere pari a 0,5°. La deviazione standard (foglio 2) sigmay, che ho calcolato nel foglio 3, è la metà (come se avessi fatto una misura d'angolo diretta) perchè?


Nel foglio 2 ho calcolato un'incertezza sulla parte intercetta q (ovvero sigmaq = 0,07) che è inferiore alla dev. standard y = 0,25. Generalmente accade il contrario ovvero \sigma_q > \sigma_y, perchè mi risulta così?


Comunque Red Hanuman Se riesci a trovare anche altre informazioni sono beeeenisssimo accette. Il fatto è però che non si può determinare equinozi e solstizi tramite le ombre degli gnomoni e ne misurando l'angolazione del sole all'alba e al tramonto. I valori della lunghezza dell'ombra e degli angoli di levata e tramonto sono valori continui ed è difficile misurarli con accuratezza così come è difficile notare quando le linee diurne diventano rette (equinozi) oppure assumono le concavità massima e minima. Per questo penso che il plinto sia la soluzione ideale. Ho letto la risposta qui: https://www.astronomia.com/forum/showthread.php?35247-ritorno-alla-data-degli-equinozi-e-solstizi. L'obliquità dell'eclittica può si essere ottenuta misurando l'altezza dell'ombra dello gnomone. Difatti in prossimità dei solstizi la declinazione del sole è pressochè immutata negli intorni del solstizio (a maggior ragione in un giorno). Perciò così possiamo determinare, con buona approssimazione, l'inclinazione dell'eclittica. Ma per sapere quand'è il giorno del solstizio d'estate non ci si può affidare all'azimut del sole alla sua levata. Difatti Eratostene per determinare tale particolare ha sfruttato il fatto che contemporaneamente, a Siene (che ha ipotizzato essere sullo stesso meridiano), al mezzodì il sole si riflette nel pozzo (ovvero qui è ortogonale). Scusami per le lungaggini. Ti ho fatto perdere già abbastanza tempo. :D

[Red Hanuman]

Allora...
Da quanto sono riuscito a trovare in giro, agli antichi non mancavano dati e ingegno.
I dati per ottenere le loro osservazioni erano preziosi e conservati per lungo tempo, cumulati tra babilonesi - caldei, egizi e ovviamente greci.
Inoltre, per superare alcune difficoltà nel calcolo esatto dei tempi, cumulavano osservazioni fatte in diverse situazioni (per esempio, osservando il cielo diurno durante le eclissi e utilizzando le "stelle fisse" per stabilire precisamente i tempi).

Comunque, ti linko del materiale che penso ti sarà d'aiuto, ovviamente in inglese. Sono per la maggior parte dotate di bibliografia da cui potrai attingere.

"Ancient Astronomy Lecture 2". (https://people.sc.fsu.edu/~dduke/lectures/lecture2.pdf)
"Hipparchus's Table of Chords" e altro. (https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-1-4612-4322-9%2F1.pdf)
"Hipparchus and the precession of the equinoxes". (https://www.briangwilliams.us/weather-change/hipparchus-and-the-precession-of-the-equinoxes.html)
"Hipparcus' computation of solar longitudes". (http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1991JHA....22..101J&defaultprint=YES&page_ind=0&filetype=.pdf)
"Hipparchus and the precession of the equinoxes". (https://eaae-astronomy.org/workshops/hipparchus-and-the-precession-of-the-equinoxes)
"Hipparchus of Rhodes". (https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hipparchus/)
"Hipparchus (astronomer)" (https://www.newworldencyclopedia.org/entry/Hipparchus_(astronomer))

[lucianob]

Un saluto cordiale a @astrifiammante (https://www.astronomia.com/forum/member.php?u=7148)
Mentre ero in giro a postare le foto del programma, ho dato anche un'occhiata agli altri post, molto interessanti e anche interessante il tuo post.
La risposta come facevano gli antichi ?

E' spiegato nei libri, dai professori e dagli insegnanti, per il quale da molti millenni quello che fa' conoscere il cielo e' " L'Osservazione", l'osservazione dei fenomeni e di quanto avviene quotidianamente. Ma anche sai ad esempio che i religiosi, ogni giorno hanno riempito pagine di scritti di osservazioni e cio' dura da migliaia di anni ?- La Chiesa tiene molto nascosti i documenti e le informazioni che quotidianamente l'osservazione dei religiosi, in passato anche dalla antiche popolazioni, scrivevano o riferivano.

Comunque a parte questo, ho visto il tuo foglio excel e ho visto l'andamento, interessante.
Se vuoi il programma che sto rifacendo, puoi vedere la posizione del sole nella sua declinazione, in che modo ?.
Nel programma c'e' una zona in basso, nella FOTO 3 - " Solstices and Equinoz J.Meeus calc, Range valid for 1800 / 300dc "
Vedrai le date delle singole stagioni. Che ho preso spunto dai suoi algoritmi, che sono moolto precisi e ben prendono anche dalle recenti tavole del JPL, scostandosi di pochi centesimi di secondo. -
COMUNQUE -

Prendendo lo spunto della data ed inserendola nel programma, poi fai il calcolo e ritorni nella Tab > Solar and Sunrise.
Che se vedi ti da' la Declinazione solare.
Con diversi passaggi, puoi farti la tabella.

Nel libro di Jean Meeus, " JM_AAlgorithms-2Edition " Cap.52 pg370. - Riferendosi alle massime e minime declinazioni della Luna. E ci sono variazioni tenutesi in considerazioni, sulla obliquita' dell'eclittica, sia per i min / max Luna e ovvio anche per il sole.
Ma dice anche che l'errore arriva a 10' per tempo a 26", per il range di 600 anni.
proprio per la causa delle perturbazioni lunari,

Mentre di quelle solari, posso riferirmi a quanto messo nel programma abbastanza preciso, in quanto per il sole la posizione di errore si attesta minima per l'arco di 4000 anni. Arrivando a scostamenti poco maggiori ma non molti in circa 8000 anni. Questo nel lavoro precedente in excel. Ma i calcoli sono traslati all'interno del programma. In modo che venga computizzato celermente. Senza problemi di celle.

Sono molto interessanti, ma non le ho mai inserite nel programma, perche' come e' scritto, non c'e' una grande precisione.
Comunque e' bello il lavoro che hai fatto. Anche certosino !

Cordiali Saluti.

PS. Comunque è mia idea inserire nel programma una tabella con i Massimi e minimi della posizione del Sole e della Luna, quando ciò si verificano per un arco temporale.