Metrica dell'Universo

[francler]

Ho una scarsa conoscenza di geometria differenziale, e i pochi rudimenti che conosco derivano in massima parte da materie trasversali.

Tuttavia, volevo fare una domanda: la geometria dell'Universo è descrivibile unicamente con la definizione di un tensore metrico?

E se sì, le grandi questioni della cosmologia (Universo statico / dinamico, ecc...) sono ascrivibili unicamente alla struttura del suddetto? Se sì, in che modo?

[Red Hanuman]

Il tensore metrico non è altro che l'applicazione puntuale delle varie funzioni legate ai campi che permeano lo spazio - tempo.
Per cui, è un ottimo strumento per descrivere quello che accade nell'universo in modo completo, in quanto da esso puoi derivare anche tutte le proprietà topologiche che lo contraddistinguono, fino a stabilirne la varietà a livello estensivo.
E' l'unico strumento utilizzabile? Non è detto. Potrebbero essercene altri migliori, ancora da creare. Ma, essendo figlio delle leggi fisiche e delle teorie cosmologiche che abbiamo sviluppato, è comunque adatto a descrivere l'universo e la sua evoluzione...;)

[SVelo]

Il tensore metrico non è altro che l'applicazione puntuale delle varie funzioni legate ai campi che permeano lo spazio - tempo.
Per cui, è un ottimo strumento per descrivere quello che accade nell'universo in modo completo, in quanto da esso puoi derivare anche tutte le proprietà topologiche che lo contraddistinguono, fino a stabilirne la varietà a livello estensivo.
Scusate se vado un attimo OT, ma per me è "come se fosse antani..." :thinking::hm::confused:

[Red Hanuman]

Più o meno, cara SVelo. [emoji23]
Il linguaggio "tecnico" a volte dà questa impressione.

[Muntagnin]

Su Wikipedia c'è sia la domanda che la risposta.......

[francler]

Scusate se vado un attimo OT, ma per me è "come se fosse antani..." :thinking::hm::confused:

Se vuoi misurare la diagonale di un tavolo, chiamala D, e chiamati i lati del tavolo A, B, sai dal teorema del Santissimo Pitagora che D^2=A^2+B^2.

Lì però sei in geometria euclidea, dove tutte le linee sono rette, e cose del genere. L'espressione più generale per misurare la diagonale del tavolo in qualsiasi geometria è: D^2=x_{1,1}A^2+ 2x_{1,2}AB + x_{2,2}B^2, dove i vari x_{i,j} sono dei numeri che vanno a formare il cosiddetto tensore metrico, una matrice 2x2 di numeri (una tabella) (credo sia il tensore metrico dell'equazione di Einstein, perché nelle discipline di cui mi occupo si chiama semplicemente "metrica", quindi per similitudine...).

Nella geometria euclidea x_{1,1} = x_{2,2} = 1 e x_{1,2} = 0. Se poi le componenti del tensore metrico variano in funzione dello spazio allora la relazione D^2=x_{1,1}A^2+ 2x_{1,2}AB + x_{2,2}B^2 diventa una rappresentazione locale (qui sto brancolando un po' nel buio perché le metriche che uso io sono costanti a tratti a va bene la rappresentazione iniziale): dD^2=x_{1,1}(x,y)dA^2+ 2x_{1,2}(x,y)dAdB + x_{2,2}(x,y)dB^2.

Il fatto di poter rappresentare il concetto di distanza attraverso un tensore metrico ha permesso al signor Einstein di formulare la sua famosa equazione, che lega una distribuzione di massa ed energia alla metrica dello spazio. Quindi, se hai massa ed energia, conosci la geometria risultante, se invece hai la sua geometria, conosci la distribuzione di massa ed energia.
Ad esempio, alcune questioni riguardanti la materia e l'energia oscura derivano da misurazioni di geometrie non concordi con la distribuzione di massa ed energia osservate (secondo l'equazione di Einstein). Quindi il modello di Einstein è sbagliato? No, perché su molti casi funziona davvero bene. La fisica è piena di modelli matematici che funzionano bene su alcune cose, e non funzionano su altre.

La mia domanda era quindi sapere se effettivamente questo tensore metrico basta, da solo, a descrivere completamente la geometria dell'Universo e che basti, assieme all'equazione di Einstein, ad avere la corrispondente distribuzione di massa ed energia.

Comunque, adesso sapete come misurare la diagonale del vostro tavolo o la misura in pollici del vostro Sony Bravia in presenza di forti distorsioni gravitazionali :D

[francler]

Su Wikipedia c'è sia la domanda che la risposta.......

Sì, ma come dicono in molti, per fisica e matematica Wikipedia va bene se già conosci l'argomento ;)

[SVelo]

Peggio che andar di notte :hm:

[Gimo85]

A livello estremamente divulgativo e senza la pretesa di essere rigoroso si potrebbe dire che un tensore in matematica si rappresenta con una matrice, che è una tabella di numeri o lettere. Ogni casella ha un significato e chi la sa usare la può interpretare come una carta geografica, per avere informazioni su cosa ci si aspetta di un determinato fenomeno a seconda della direzione in cui si guarda.

Partendo dall'ABC... se tu volessi rappresentare il bastone di un ombrellone alto due metri in x, larghezza y, lunghezza e z, altezza (una terna xyz nello spazio), potresti scrivere la sequenza 0 0 2. Per un matematico o un fisico 0 0 2 è un vettore che punta verso l'alto che misura 2 (metri del palo dell'ombrello).
Se invece di un singolo ombrellone (1 dimensione) vuoi descrivere uno stabilimento balneare non ti basta una riga, ma ti serve una tabella di tre colonne e tante righe quanti sono gli ombrelloni (2 dimensioni); ma se lo stabilimento è di un tipo pignolo che mette tutto in un ordine logico, uguale in ogni punto, lo puoi rappresentare sinteticamente con una funzione, e magari riesci a scrivere tutto lo stabilimento in uno spazio ristretto e ad aggiungere quello a fianco, più l'estensione sotto e sopra terra della concessione (3 dimensoni).

Astrando il singolo palo d'ombrellone è un oggetto monodimensionale, la rappresentazione dall'alto dello stabilimento in pianta è bidimensionale e se avessimo un plastico da rappresentare con sequenze di numeri avremmo una rappresentazione tridimensionale.
La quarta dimensione si può sempre aggiungere ed è il tempo.

SVelo riprova con Wikipedia Tensore (https://it.wikipedia.org/wiki/Tensore)

[SVelo]

Caro Gimo85 ti ringrazio tantissimo per la spiegazione, diciamo che ho capito per sommi capi, ma ti dispenso dallo sforzarti di darmi ulteriori spiegazioni perché non ho proprio le facoltà mentali per andare oltre nella comprensione. L'ho sempre detto, la matematica è sempre stata la mia bestia nera, diciamo che mi fermo alle espressioni con 3 parentesi (tonda, quadra e graffa) di cui non ricordo neanche la definizione e a cosa servano. :blush::hm: Scusate l'OT e andate pure avanti senza tenermi in considerazione. :biggrin:

[francler]

Ci riprovo io, sempre con un background da più da matematico che da fisico.

Se vuoi misurare la distanza tra due punti, prendi un righello e la misuri.

Ora, supponi di prendere un foglio di gomma (non so neanche se esistono), o comunque di un materiale elastico. Stretchalo, e disegna due punti sopra. Misura la distanza, poi rilassalo e ri-misurala. Ovviamente le due distanze saranno diverse.
Se poi lo storti, lo attorcigli, lo torturi in modi diversi, la distanza sarà sempre diversa. L'azione di deformarlo è più o meno la stessa cosa che fa la presenza di una massa o di energia.

Cosa cambia tra una configurazione e l'altra? Cambia proprio lui, il tensore metrico! In ogni punto puoi definire tre numeri che servono per misurare le distanze ottenute. Fra l'altro il concetto di tensore è usato anche nella meccanica dei continui e dei corpi elastici (tensore di deformazione), e ha delle fortissime analogie con il tensore metrico della relatività.

Insomma, quando hai cose curve, c'è sempre di mezzo un tensore metrico. Quando ti gratti la pelle, facendola deformare, quando hai il vento tra i capelli, che li fa muovere curvandoli, quando hai un buco nero, che curva lo spaziotempo.

Generalmente, in matematica, specialmente in topologia, il concetto di distanza è fondamentale, e infatti esistono tantissime distanze diverse. Puoi addirittura misurare la distanza tra due concetti astratti come quello di funzione o di probabilità. Basta che soddisfi le tre proprietà elementari:

1) la distanza tra due oggetti A e B deve essere maggiore di zero
2) la distanza tra due oggetti A e B è uguale a zero se e solo se A è uguale a B
3) se hai la distanza tra A e B, e hai la distanza tra B e C, allora la loro somma è minore o uguale alla distanza tra A e C (distanza Milano e Bologna + distanza tra Bologna e Roma è minore o uguale alla distanza tra Milano e Roma, per intenderci...)

Anche il tensore metrico di Einstein deve soddisfare e soddisfa quelle proprietà (se è simmetrico e definito positivo, ma penso proprio che lo sia...).

Purtroppo la matematica che è dietro a queste macchinazioni è molto, ma molto più complessa delle espressioni con graffe, quadre e tonde, e non sono in grado di spiegarlo diversamente o in modo più tecnico. Vorrei avere la stessa capacità di divulgazione di Piero e Alberto Angela, ma purtroppo quelle capacità sovrannaturali sono possedute da solo due persone nel mondo :D

[SVelo]

Vorrei avere la stessa capacità di divulgazione di Piero e Alberto Angela, ma purtroppo quelle capacità sovrannaturali sono possedute da solo due persone nel mondo :D
Non c'è la faccina che applaude, ma ritieniti applaudito :biggrin: