Azancan
19-06-2018, 21:26
Ciao, abbiamo un problema… nel senso che c’è un problema dato alle olimpiadi di astronomia di quest’anno che non riusciamo a risolvere. Qualcuno ci può dare una mano?
4. La radiazione di Hawking In un articolo apparso nel 1974 sulla rivista “Nature”, Stephen Hawking ipotizzò l’esistenza di un processo di emissione di energia da parte dei buchi neri (black holes), in seguito chiamato “radiazione di Hawking”, che porta alla loro “evaporazione”. In termini estremamente semplificati, il meccanismo che genera la radiazione deriva dalla creazione, da fluttuazioni quantistiche del vuoto nelle immediate vicinanze dell’orizzonte degli eventi del buco nero, di coppie particella-antiparticella. Se la coppia particella-antiparticella si annichila avremo un bilancio energetico nullo, se invece una delle due particelle entra nell’orizzonte degli eventi mentre l’altra riesce a sfuggire, il risultato sarà la comparsa di una energia “positiva” all’esterno del buco nero, che deve essere bilanciata da una energia “negativa” all’interno del buco nero, ovvero da una diminuzione di massa del buco nero.
Considera un buco nero avente una massa pari a 100 volte quella della Terra e calcola il raggio dell’orizzonte degli eventi. Considera quindi un guscio sferico che si estende per 10 cm oltre tale orizzonte, all’interno del quale il meccanismo di Hawking è in funzione. In ogni cm3 di questo guscio sferico vengono generate 136.6 ∙ 10^4 coppie elettrone-positrone ogni secondo, che non fanno in tempo ad annichilarsi e vengono separate dalla gravità del buco nero. Supponendo il fenomeno costante, calcola dopo quanto tempo, in anni, si avrà la completa evaporazione del buco nero e confronta il valore trovato con l’età attuale dell’Universo.
Come abbiamo provato a risolvere:
Trovato la Massa M del buco nero, grazie a Schwarzschild troviamo il raggio del buco nero r=2GM/c^2= 88 cm
Detto R=r+10 cm il raggio del guscio oltre l’orizzonte degli eventi, troviamo il volume della corona sferica pari a 1,088*10^6 cm^3, che ci permette di risalire a quante coppie elettrone-positrone vengono separate al secondo dal guscio : (V corona sferica)/(coppie separate al sec per cm^3) = 1,5*10^12. A questo punto ci serve sapere quante coppie si devono separare per far evaporare l’intero buco nero, così, dividendo per il numero di coppie che il guscio separa al secondo, posso risalire a quanto tempo si impiega a completare il processo.
Però è proprio qua il problema. Come facciamo a saper quante coppie si devono separare per produrre le particelle che con la loro energia negativa, una volta risucchiate dal buco nero una dietro l’altra, lo fanno evaporare del tutto?
Abbiamo trovato in rete la relazione tempo di evaporazione = (5120 pi*G^2*M^3)/(planck*c^4) ma, considerando i dati del problema, ci dev’essere qualcos’altro che ci permette di giungere alla soluzione senza conoscere quella formula, qualcosa alla portata di ragazzi di 15-16 anni. Non ci viene in mente niente che sembri avere forse un senso, … e a voi?
4. La radiazione di Hawking In un articolo apparso nel 1974 sulla rivista “Nature”, Stephen Hawking ipotizzò l’esistenza di un processo di emissione di energia da parte dei buchi neri (black holes), in seguito chiamato “radiazione di Hawking”, che porta alla loro “evaporazione”. In termini estremamente semplificati, il meccanismo che genera la radiazione deriva dalla creazione, da fluttuazioni quantistiche del vuoto nelle immediate vicinanze dell’orizzonte degli eventi del buco nero, di coppie particella-antiparticella. Se la coppia particella-antiparticella si annichila avremo un bilancio energetico nullo, se invece una delle due particelle entra nell’orizzonte degli eventi mentre l’altra riesce a sfuggire, il risultato sarà la comparsa di una energia “positiva” all’esterno del buco nero, che deve essere bilanciata da una energia “negativa” all’interno del buco nero, ovvero da una diminuzione di massa del buco nero.
Considera un buco nero avente una massa pari a 100 volte quella della Terra e calcola il raggio dell’orizzonte degli eventi. Considera quindi un guscio sferico che si estende per 10 cm oltre tale orizzonte, all’interno del quale il meccanismo di Hawking è in funzione. In ogni cm3 di questo guscio sferico vengono generate 136.6 ∙ 10^4 coppie elettrone-positrone ogni secondo, che non fanno in tempo ad annichilarsi e vengono separate dalla gravità del buco nero. Supponendo il fenomeno costante, calcola dopo quanto tempo, in anni, si avrà la completa evaporazione del buco nero e confronta il valore trovato con l’età attuale dell’Universo.
Come abbiamo provato a risolvere:
Trovato la Massa M del buco nero, grazie a Schwarzschild troviamo il raggio del buco nero r=2GM/c^2= 88 cm
Detto R=r+10 cm il raggio del guscio oltre l’orizzonte degli eventi, troviamo il volume della corona sferica pari a 1,088*10^6 cm^3, che ci permette di risalire a quante coppie elettrone-positrone vengono separate al secondo dal guscio : (V corona sferica)/(coppie separate al sec per cm^3) = 1,5*10^12. A questo punto ci serve sapere quante coppie si devono separare per far evaporare l’intero buco nero, così, dividendo per il numero di coppie che il guscio separa al secondo, posso risalire a quanto tempo si impiega a completare il processo.
Però è proprio qua il problema. Come facciamo a saper quante coppie si devono separare per produrre le particelle che con la loro energia negativa, una volta risucchiate dal buco nero una dietro l’altra, lo fanno evaporare del tutto?
Abbiamo trovato in rete la relazione tempo di evaporazione = (5120 pi*G^2*M^3)/(planck*c^4) ma, considerando i dati del problema, ci dev’essere qualcos’altro che ci permette di giungere alla soluzione senza conoscere quella formula, qualcosa alla portata di ragazzi di 15-16 anni. Non ci viene in mente niente che sembri avere forse un senso, … e a voi?