Maurizio_39
05-05-2018, 14:10
Amici astrofili, mi perdonerete l’ignoranza, ma sono abituato a riflettere su quello che so, o meglio credo di sapere, e spesso ho bisogno di trovare conferma delle mie convinzioni.
Espongo tutto ciò per chi fosse interessato. Non sono certo che sia giusto, tutt’altro, ma sono aperto a discuterne!
Il problema questa volta riguarda il rapporto tra magnitudine stellare e magnitudine integrata.
La magnitudine, come si sa, è un sistema di catalogazione antico, inventato per distinguere il diverso splendore delle stelle, cioè di oggetti puntiformi. Poi è stata applicata anche agli oggetti estesi, per indicarne la luminosità complessiva, ma, essendo questa distribuita su una data superficie, viene distinta dalla prima come “magnitudine integrata”.
Per comprendere come queste due magnitudini si rapportino, occorre trovare un sistema di confronto comune, ad es. tramite i loro valori puntiformi.
Dal momento che l’occhio rappresenta l’elemento ultimo di valutazione e che il suo potere risolutivo è di circa 100”, cioè ciò che giunge all’occhio (sia direttamente che indirettamente) al di sotto di questa dimensione angolare per l’occhio è un punto, faccio riferimento a questa come area puntiforme.
Il criterio di scelta di alcuni parametri presi a riferimento può essere discutibile, ma l’applicazione del concetto generale penso che possa essere accettato.
Ho suddiviso queste considerazioni in quattro parti per affrontare situazioni diversamente complesse.
Parte 1:
Considero un oggetto esteso particolare, la Luna, a cui possiamo attribuire una luminosità quasi uniforme. La sua magnitudine integrata è circa m_I=-12.6 , mentre la sua dimensione angolare è di circa \phi=30'=1800".
Nella visione diretta, essendo la più piccola porzione di cielo apprezzabile dall’occhio pari a 100” di dimensione angolare, immagino di suddividere il disco lunare in (\frac{1800"}{100" })^2=324 dischetti. Per l’occhio questi avranno dimensione stellare (puntiforme).
Distribuisco la luminosità integrata su questi dischetti, per cui ognuno contribuirà alla luminosità totale per m=-12.6+2.5\cdot log(324)=-6.32.
Cioè 324 dischetti da 100” di diametro e magnitudine -6.32 vanno a costituire un disco di 1800” di diametro e magnitudine integrata -12.6. In altre parole l’occhio apprezza la Luna come 324 stelle di magnitudine -6.32 riunite nel disco lunare.
Parte 2:
Passo a considerare la Luna vista attraverso uno strumento con obiettivo P_e=200\cdot mm e ingrandimento J=100 x . Assumo che il seeing sia pari a 1” (lo strumento permetterebbe di risolvere 0.6”).
L’ingrandimento usato è in grado di riportare la risoluzione massima consentita dal seeing al valore rilevabile dall’occhio (100”). Da notare che questo ingrandimento è tale che l’occhio avverte questa areola sempre di dimensione stellare, non essendo in grado di apprezzare separazioni superiori a 100”.
In questa situazione il dischetto puntiforme da considerare ha la dimensione angolare di 1” (anche se all’occhio giunge amplificato a 100”, ma ancora puntiforme).
Considero perciò (\frac{1800"}{1" })^2=3240000 dischetti di Luna di diametro 1”.
Con lo stesso ragionamento precedente questa piccola area avrà una magnitudine m=-12.6+2.5\cdot log(\frac{1800"}{1" })^2=3.68 e contribuirà a formare, insieme a tutti gli altri dischetti, una superficie avente magnitudine integrata m_I=-12.6 .
Però la maggiore pupilla d’entrata, riferita all’occhio, intensificherà il valore della luminosità di un fattore(\frac{200}{7 })^2=816 x , cioè aumenterà la luminosità di ogni dischetto di \Delta m=2.5\cdot log(816)=7.28 .
Di conseguenza il dischetto da 1”, che viene riportato all’occhio con la dimensione minima percepibile da esso e pertanto puntiforme, avrà una magnitudine m=3.68-7.28=-3.6 .
Verifica: Se affianchiamo 3240000 dischetti di magnitudine m=-3.6 otteniamo una magnitudine integrata di m_I=-19.88 , che è la stessa della Luna vista ad occhio nudo ed incrementata per la maggiore pupilla d’entrata: m_I=-12.6-2.5\cdot log(\frac{200}{7 })^2=-19.88
Parte 3:
Applico quanto detto ad oggetti estesi diversi, ad es. alla galassia di Andromeda. Il discorso cambia notevolmente, non potendo affatto considerare la sua luminosità uniforme.
Tuttavia possiamo fare il discorso come se lo fosse e riferirci, anche in questo caso, ad una luminosità media, salvo poi trovare un metodo per distribuirla correttamente.
Magnitudine visuale integrata m_I=4.8 ; Dimensioni angolari equivalenti (riportate ad un cerchio) \phi=109'.
Riferendoci alla visione ad occhio nudo e suddividendola quindi in areole da 100”, troviamo un numero di dischetti pari a (\frac{109'\cdot 60}{100" })^2=4277 da cui deriva la magnitudine media dell’areola m=4.8+2.5\cdot log(4277)=13.88 .
In altre parole se la luminosità fosse uniforme la galassia non sarebbe visibile ad occhio nudo.
Parte 4:
Interponiamo ora lo stesso strumento della parte 2.
Il dischetto minimo da considerare diventa nuovamente da 1” e la magnitudine media diventa m=4.8+2.5\cdot log(\frac{109'\cdot 60}{1" })^2=23.88 .
Correggendo per l’intensificazione dovuta al maggior diametro della pupilla si trova m=23.88-2.5\cdot log(816)=16.6.
Anche in questo caso, se la luminosità della galassia fosse distribuita uniformemente, essa non sarebbe visibile, nemmeno con lo strumento.
Circa l’influenza dell’ingrandimento vale quanto detto nel caso precedente: l’ingrandimento non peggiora ulteriormente la situazione poiché, pur se ingrandita, l’immagine viene recepita dall’occhio ancora come puntiforme.
Verifica: Se affianchiamo (\frac{109'\cdot 60}{1" })^2 =42771600 dischetti di magnitudine m=16.6 ciascuno, otteniamo una magnitudine integrata all’oculare pari a m_I=-2.48 , che è la stessa magnitudine visiva integrata della galassia, incrementata per la maggiore pupilla d’entrata.
m_I=4.8-2.5\cdot log(\frac{200}{7 })^2=-2.48
Per ora questo è tutto. Via ai commenti!;)
P.S.Spero di non aver sbagliato i conti!:blush:
Espongo tutto ciò per chi fosse interessato. Non sono certo che sia giusto, tutt’altro, ma sono aperto a discuterne!
Il problema questa volta riguarda il rapporto tra magnitudine stellare e magnitudine integrata.
La magnitudine, come si sa, è un sistema di catalogazione antico, inventato per distinguere il diverso splendore delle stelle, cioè di oggetti puntiformi. Poi è stata applicata anche agli oggetti estesi, per indicarne la luminosità complessiva, ma, essendo questa distribuita su una data superficie, viene distinta dalla prima come “magnitudine integrata”.
Per comprendere come queste due magnitudini si rapportino, occorre trovare un sistema di confronto comune, ad es. tramite i loro valori puntiformi.
Dal momento che l’occhio rappresenta l’elemento ultimo di valutazione e che il suo potere risolutivo è di circa 100”, cioè ciò che giunge all’occhio (sia direttamente che indirettamente) al di sotto di questa dimensione angolare per l’occhio è un punto, faccio riferimento a questa come area puntiforme.
Il criterio di scelta di alcuni parametri presi a riferimento può essere discutibile, ma l’applicazione del concetto generale penso che possa essere accettato.
Ho suddiviso queste considerazioni in quattro parti per affrontare situazioni diversamente complesse.
Parte 1:
Considero un oggetto esteso particolare, la Luna, a cui possiamo attribuire una luminosità quasi uniforme. La sua magnitudine integrata è circa m_I=-12.6 , mentre la sua dimensione angolare è di circa \phi=30'=1800".
Nella visione diretta, essendo la più piccola porzione di cielo apprezzabile dall’occhio pari a 100” di dimensione angolare, immagino di suddividere il disco lunare in (\frac{1800"}{100" })^2=324 dischetti. Per l’occhio questi avranno dimensione stellare (puntiforme).
Distribuisco la luminosità integrata su questi dischetti, per cui ognuno contribuirà alla luminosità totale per m=-12.6+2.5\cdot log(324)=-6.32.
Cioè 324 dischetti da 100” di diametro e magnitudine -6.32 vanno a costituire un disco di 1800” di diametro e magnitudine integrata -12.6. In altre parole l’occhio apprezza la Luna come 324 stelle di magnitudine -6.32 riunite nel disco lunare.
Parte 2:
Passo a considerare la Luna vista attraverso uno strumento con obiettivo P_e=200\cdot mm e ingrandimento J=100 x . Assumo che il seeing sia pari a 1” (lo strumento permetterebbe di risolvere 0.6”).
L’ingrandimento usato è in grado di riportare la risoluzione massima consentita dal seeing al valore rilevabile dall’occhio (100”). Da notare che questo ingrandimento è tale che l’occhio avverte questa areola sempre di dimensione stellare, non essendo in grado di apprezzare separazioni superiori a 100”.
In questa situazione il dischetto puntiforme da considerare ha la dimensione angolare di 1” (anche se all’occhio giunge amplificato a 100”, ma ancora puntiforme).
Considero perciò (\frac{1800"}{1" })^2=3240000 dischetti di Luna di diametro 1”.
Con lo stesso ragionamento precedente questa piccola area avrà una magnitudine m=-12.6+2.5\cdot log(\frac{1800"}{1" })^2=3.68 e contribuirà a formare, insieme a tutti gli altri dischetti, una superficie avente magnitudine integrata m_I=-12.6 .
Però la maggiore pupilla d’entrata, riferita all’occhio, intensificherà il valore della luminosità di un fattore(\frac{200}{7 })^2=816 x , cioè aumenterà la luminosità di ogni dischetto di \Delta m=2.5\cdot log(816)=7.28 .
Di conseguenza il dischetto da 1”, che viene riportato all’occhio con la dimensione minima percepibile da esso e pertanto puntiforme, avrà una magnitudine m=3.68-7.28=-3.6 .
Verifica: Se affianchiamo 3240000 dischetti di magnitudine m=-3.6 otteniamo una magnitudine integrata di m_I=-19.88 , che è la stessa della Luna vista ad occhio nudo ed incrementata per la maggiore pupilla d’entrata: m_I=-12.6-2.5\cdot log(\frac{200}{7 })^2=-19.88
Parte 3:
Applico quanto detto ad oggetti estesi diversi, ad es. alla galassia di Andromeda. Il discorso cambia notevolmente, non potendo affatto considerare la sua luminosità uniforme.
Tuttavia possiamo fare il discorso come se lo fosse e riferirci, anche in questo caso, ad una luminosità media, salvo poi trovare un metodo per distribuirla correttamente.
Magnitudine visuale integrata m_I=4.8 ; Dimensioni angolari equivalenti (riportate ad un cerchio) \phi=109'.
Riferendoci alla visione ad occhio nudo e suddividendola quindi in areole da 100”, troviamo un numero di dischetti pari a (\frac{109'\cdot 60}{100" })^2=4277 da cui deriva la magnitudine media dell’areola m=4.8+2.5\cdot log(4277)=13.88 .
In altre parole se la luminosità fosse uniforme la galassia non sarebbe visibile ad occhio nudo.
Parte 4:
Interponiamo ora lo stesso strumento della parte 2.
Il dischetto minimo da considerare diventa nuovamente da 1” e la magnitudine media diventa m=4.8+2.5\cdot log(\frac{109'\cdot 60}{1" })^2=23.88 .
Correggendo per l’intensificazione dovuta al maggior diametro della pupilla si trova m=23.88-2.5\cdot log(816)=16.6.
Anche in questo caso, se la luminosità della galassia fosse distribuita uniformemente, essa non sarebbe visibile, nemmeno con lo strumento.
Circa l’influenza dell’ingrandimento vale quanto detto nel caso precedente: l’ingrandimento non peggiora ulteriormente la situazione poiché, pur se ingrandita, l’immagine viene recepita dall’occhio ancora come puntiforme.
Verifica: Se affianchiamo (\frac{109'\cdot 60}{1" })^2 =42771600 dischetti di magnitudine m=16.6 ciascuno, otteniamo una magnitudine integrata all’oculare pari a m_I=-2.48 , che è la stessa magnitudine visiva integrata della galassia, incrementata per la maggiore pupilla d’entrata.
m_I=4.8-2.5\cdot log(\frac{200}{7 })^2=-2.48
Per ora questo è tutto. Via ai commenti!;)
P.S.Spero di non aver sbagliato i conti!:blush: