stelle binarie e metodi di risoluzione

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un sistema binario è un sistema composto da 2 stelle che ruotano una intorno all'altra
circa 1/3 delle stelle nella nostra galassia appartengono a un sistema binario
ursula mayoris per esempio fa parte di un sistema a 7 stelle.

esistono 4 tecniche per determinare le caratteristiche de sistema.

visuali
spettroscopiche
fotometriche
astrometriche.

le binarie astrometriche sono binarie dove le caratteristiche del sistema vengono determinate dopo lunghi periodi di osservazione dove si mappa la posizione delle stelle in funzione del tempo.
Queste osservazioni sono molto precise perciò non possiamo spingerci a misurare stelle troppo lontane , è una tecnica poco usata perché tale precisione si può avere solo per stele entro un raggio di 10 parsec da noi.

le binarie visuali sono stelle le cui componenti sono abbastanza lontane per far si che si possano distinguere anche con telescopi amatoriali, ma sufficientemente vicine per autogravitare l'una sull'altra.
ursula majoris ne è un esempio.
per determinare le masse di queste stelle usiamo la terza legge di kepleriano e il problema dei 2 corpi (che può essere risolto come il problema di un corpo di massa ridotta che ruota attorno al centro di massa del sistema)

perciò se c mettiamo nel sistema di riferimento del centro di massa

m_1/m_2 = a_2 /a_1
il rapporto delle masse è pari a l'inverso del rapporto dei 2 semiassi maggiori.

ora il semiasse maggiore diviso la distanza della stella a/d = sin(ß) sarebbe un triangolo rettangolo
ma visto che la distanza "d" è moooolto maggiore del semiasse "a" possiamo sviluppare in serie di taylor al 1° ordine il seno allora diciamo che sin(ß) = ß
perciò:
m_1/m_2 = ß_2/ß_1
e gli angoli ß sono misure che noi possiamo fare da terra con i nostri strumenti.

utilizzando la 3à legge di kepler P^2 = 4*a^3*π^2 /G(m_1 + m_2) dove a = a_1 + a_2
a_1 + a_2 = sin(ß_1)*d + sin(ß_2)*d = ß_1 +ß_2
allora P^2 = 4*π^2*d^3*(ß_1+ß_2)/G(m_1 + m_2)

perciò abbiamo 2 equazioni in 2 incognite che sono le masse

P^2 = 4*π^2*d^3*(ß_1+ß_2)/G(m_1 + m_2)
m_1/m_2 = ß_2/ß_1
risolviamo il sistema e otteniamo le masse.


Nel caso il piano orbitale non sia ortogonale alla nostra linea di vista i calcoli si complicano leggermente, perche il semiasse maggiore legato ad un angolo deve essere proiettato rispetto la nostra linea di vista.

allora m_1/m_2 = a_2/a_1 =ß-2/ß-1= ß_2cos(i)/ß_1cos(i) = ß_2/ß_1

sulla prima equazione il coseno dell'angolo si semplifica e rimane uguale

ma la somma delle masse data dalle 3à legge di keplero e riarrangiando i termini diventa

m_1 + m_2 = (4π^2/G)*(ad)^3/P^2 = 4π^2/G * (d/cos(i))^3 * (ß-2 + ß-1)^3/P^2

quindi per risolvere il sistema dobbiamo conoscere l'angolo di inclinazione "i"

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Vediamo come ricavare le caratteristiche del sistema usando tecniche spettroscopiche.

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Con le binarie spettroscopiche sfruttiamo gli effetti doppler delle righe di assorbimento degli spettri stellari per via del fatto che si stanno muovendo.
Esistono binarie a doppia riga e a singola riga.
Doppia riga significa che riusciamo a misurare lo spettro di entrambe le stelle.
Singola riga significa che ne vediamo uno solo.

Vediamo le binarie a doppia riga.
Se si allontanano avremo un red shift se si avvicinano un blue shift.
Per fare tale misura il piano orbitale non può essere ortogonale alla nostra linea di vista , altrimenti non vedremmo effetti doppler.
Necessitiamo di un piano inclinato, tanto più inclinato meglio è poiche la velocità della stella può essere scomposta in velocità radiale e tangenziale. A noi interessa la velocità radiale (responsabile dell'effetto doppler)

V_r = v*sin(i) e tanto è piu grande tanto più l'effetto doppler è visibile tanto più l'angolo di inclinazione deve essere grande se i = 90 , sin(i) = 1 ed è il massimo.

visto che abbiamo 2 stelle
V_r2 = v_2 sin(i)
V_r1 = v_1 sin(i)

se facciamo il rapporto:
V_r2/V_r1 = v_2/v_1

approssimiamo il problema a orbite circolari:

V=s/t
lo spazio è quello di una circonferenza , il tempo è il periodo.

V = 2πa/P

visto che abbiamo 2 componenti nel sistema:

v_1 = 2πa_1 /p
v_2 = 2πa_2/p

allora
V_r2/V_r1 = v_2/v_1 = a_2/a_1 = m_1/m_2
perciò dal rapporto di velocità radiali siamo arrivati al rapporto tra masse.

ora sostituiamo nella 3à legge di keplero.

m_1 + m_2 = (4π^2)/(GP^2) * a^3
a è sempre la somma di a_1 + a_2 che per via delle orbite circolari valgono a_1 = v_1P/2π a_2 = v_2P/2π
sostituendo
m_1 + m_2 = P/(2πG) * (v_2 + v_1)^3
ma v_2 e v_1 valgono v_r /sin(i)
sostituendo
m_1 + m_2 = P/(2πG) * 1/(sin(i))^3 * (v_r2 + v_r1)
abbiamo scritto la somma delle masse in funzione delle velocità radiali che possiamo misurare.
Nota importante è che dobbiamo conoscere l'angolo di inclinazione.

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Per binarie a singola riga riusciamo a dare una stima della massa della stella i cui non vediamo lo spettro.
Per la precisione riusciamo a dare un limite inferiore della massa.

La prima equazione rimane la stessa.
v_2/v_1 = v_r2/v_r1 = m_1 /m_2


nella terza legge di kepleriano però:

m_1 + m_2 = (4π^2)/(GP^2) * a^3
m_1 + m_2 = P/(2πG) * (v_2 + v_1)^3
m_1 + m_2 = P/(2πG) * 1/(sin(i))^3 * (v_r2 + v_r1)^3

raccogliendo v_r1

m_1 + m_2 = P/(2πG) * (v_r1/sin(i))^3 * (v_r2/vr_1 + 1)^3
m_1 + m_2 = P/(2πG) * (v_r1/sin(i))^3 * (m_1/m_2 + 1)^3
m_1 + m_2 = P/(2πG) * (v_r1/sin(i))^3 * ((m_1+m_2)/m_2)^3
(m_2)^3/(m_1+m_2)^2 * sin^3(i) = P/(2πG) * (v_r1)^3

il membro a sinistra sarà sempre minore di m_2 perciò anche quello a destra.
allora
P/(2πG) * (v_r1)^3 < m_2

perciò abbiamo trovato una stima inferiore della massa di m_2 (stella di cui non vediamo lo spettro )

[Red Hanuman]

mazzolatore, Latex ha ripreso a funzionare, puoi inserire le formule come si deve...;)

[mazzolatore]

binarie a eclissi o fotometriche.



Per individuare le caratteristiche di stelle binarie con il metodo delle eclissi, si sfruttano misure di flusso(o luminosità) in funzione del tempo, poiché le stelle si eclissano a vicenda.
Le caratteristiche del sistema per fare tali misure sono:
- stelle vicine il che implica periodi corti allora cambiamento di magnitudini veloci visto che quando c'è un eclissi la luminosità diminuisce, inoltre il fatto che siano vicine aumenterà la probabilità di vedere un eclissi.
- piano orbitale tangenziale alla linea di vista cioè i \approx 90°

Vediamo come.

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Questa foto forse ci chiarisce l'idea.
Quando una stella passa davanti all'altra la eclissa allora la luminosità misurata sarà minore della luminosità di quando sono visibili entrambe le stelle.

Inoltre se una stella è piu grade dell'altra avremmo che le "buche" su grafico saranno una piu profonda dell'altra.
In particolare la buca più profonda indica quando alla stella più piccola passa dietro, la buca meno profonda indica quando la stella piu piccola passa davanti.

Allora se definiamo la velocità relativa come:

v = {v}_{s} + {v}_{l}

dove:
{v}_{s } velocità stella small
{v}_{l } velocità stella large

allora abbiamo che il raggio della stella small
{r}_{s } = \frac{v}{ 2}({t}_{b } - {t}_{ a})

mentre il raggio della stalla large

{r}_{l } = \frac{v}{ 2}({t}_{c }-{t}_{a }) = {r}_{s } +\frac{v}{ 2}({t}_{c }-{t}_{b })

E cosi abbiamo trovato i raggi, inoltre possiamo trovare alche il rapporto tra le temperature superficiali.

Ricordando che il FLUSSO è:
F = \delta{T}^{4 }

allora la luminosità sarà L = 4\pi{r}^{2}F

{L}_{0} = luminosità di quando entrambe le stelle sono visibili... sarà la somma delle luminosità delle singole stelle

{L}_{0} =k[(π{r}_{l })^{2}{F}_{rl} + (π{r}_{s })^{2}{F}_{rs}]

{L}_{1} = luminosità di quando la stella piccola passa dietro ... allora vedremo solo la luminosità della stella grande.

{L}_{1} =k[(π{r}_{l })^{2}{F}_{rl}]

{L}_{2} = luminosità di quando la stella piccola passa davanti.
Qui vedremo la luminosità della stella piccola + la luminosità della stella grande - luminosità della stella grande come se fosse grande come la stella piccola(la stella piccola sta davanti alla grande allora dobbiamo sottrarre la luminosità di una porzione di quella grande)
In formule:

{L}_{2} = k[(π{r}_{l })^{2} - (π{r}_{s })^{2}]{F}_{rl} + kπ{r}_{s })^{2}{F}_{rs}]


svolgendo i calcoli e facendo

\frac{{L}_{0} - {L}_{1}}{{L}_{0} - {L}_{2}}
che poi non sarebbe nient altro che il rapporto tra i minimi si semplificano i termini e troviamo

\frac{{L}_{0} - {L}_{1}}{{L}_{0} - {L}_{2}} = \frac{{F}_{rs}}{ {F}_{rl}} = \frac{\delta({T}_{s})^{4 }}{\(delta{T}_{l})^{4 } }

semplificando = {\frac{{T}_{ s}}{ {T}_{l }}}^{4 }

[mazzolatore]

A quanto pare latex mi ha abbandonato alla sesta riga :hm: