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etruscastro
18-01-2013, 10:30
CALCOLO MAGNITUDINE LIMITE TEORICA


Quanti di noi sanno calcolare la magnitudine limite teorica dei nostri strumenti?
Pochi….. veramente pochi..... fino a qualche giorno fa, pensavo anche io (senza la minima umiltà! ) di saper svolgere il procedimento.

Soltanto qualche sera fa, durante una riunione sociale della mia associazione astrofila, è salito a galla il vero problema che riguarda il calcolo, durante una discussione che più tardi ve ne farò partecipi.

Vediamo come possiamo districarci in questi calcoli, la formula che regola il valore è questa:

ml=mv + 5*log(D/p) con log in base 10

dove ml sta per magnitudine limite, mv sta per magnitudine visuale, 5 è il logaritmo per la magnitudine, D sta per diametro e p sta per pupilla di uscita….

E' bene ricordare che la scala delle magnitudini è logaritmica, in base 2.5 ( arrotondata perché in realtà è 2.512 ), questo significa che la differenza di luminosità fra una stella di magnitudine 0 e una di magnitudine 1 è pari a 2.512 .

Vediamo di attuarla con dei semplici esempi di modo che tutti sappiano come regolarsi:

ipotizziamo di avere un classico telescopio da 8” quindi 200mm di diametro ( in realtà è 203mm ma semplifichiamo all’inverosimile) e supponiamo anche che il nostro occhio si dilati al buio fino a 7mm (in realtà, come già sappiamo è già tanto arrivare a 5mm), il guadagno luminoso sarà pari al rapporto del quadrato dei due obbiettivi in questo caso la formula sarà 200^2/7^2, cioè 816.

Un telescopio da 200mm dunque raccoglie 816x più luce dell'occhio umano, dilatato a 7mm,come nel caso che abbiamo preso in considerazione.

Dato che, come detto, la scala delle magnitudini segue un log in base 2.5, dovremmo trovare l'esponente da dare a 2.5 per avere 816, esponente che rappresenterà il guadagno di magnitudini osservando direttamente al telescopio, in questo preciso caso il valore è pari a 7.3 (arrotondato),…… se dunque la magnitudine del nostro cielo sarà ad esempio 5.5 (imparate a valutarlo da qui: http://www.astronomia.com/forum/showthread.php?339-scala-di-Bortle ) allora la magnitudine limite all'oculare del nostro telescopio sarà 7.3 + 5.5 = 12.8
la magnitudine limite del nostro strumento da 200mm sotto un cielo da mv 5.5 sarà dunque 12.8!

domanda lecita:

E se la magnitudine limite del cielo anziché 5.5 sia 6.5 ?

All'oculare arriveremo a mag. 13.8 …. Semplice no!

I più sagaci potrebbero fare il discorso inverso e farmi la domanda:

e se volessimo arrivare a magnitudine 13.8 partendo da un cielo di 5.5?

allora avremo bisogno di un' obbiettivo che offra un valore di magnitudine di 8.3 ( = 13.8 - 5.5 ), ossia un obbiettivo da 320mm!
Infatti 320x320/49 (ricordate? 7^2 della pupilla di uscita?) fa 2090, e l'esponente da dare a 2.5 per ottenere 2090 è proprio 8.3!

In poche parole un 320mm sotto un cielo di magnitudine 5.5 mostra gli stessi oggetti di uno strumento da 200mm sotto un cielo buono!

Tutto bene?

Scommetto che quasi tutti i lettori di questa discussione, con carta e penna e, soprattutto una calcolatrice scientifica, abbiano eseguito i relativi calcoli del proprio strumento…. Ci sarà chi avrà ottenuto una mag. di 12.5 e chi, con soddisfazione arriva a 14…. Sicuramente ci sarà anche chi avrà sbagliato i calcoli….. :)

Ma sarà tutto giusto? Ci fidiamo di questa formulina e dei soli logaritmi?

Niente di più sbagliato…… ragionandoci sopra con i miei soci di associazione e, soprattutto con gli scambi di pareri del mio amico/socio e prof. di matematica Bellini, spulciando fra numeri e su internet in cerca di lavori in merito svolti da professionisti ci siamo imbattuti sul lavoro di Bradley Shaefer e Blackwell ( qua il lavoro originale: http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1990PASP..102..212S (http://articles.adsabs.harvard.edu/full/1990PASP..102..212S) )

vediamo di esaminare il tutto con occhio pratico, scientifico e professionale:

secondo il lavoro degli illustri professionisti ( Shaefer è professore di astronomia e astrofisica ) la magnitudine limite dipende non solo dall’ apertura….. ma anche dall'ingrandimento (e questo fattore inficia non poco).

come mai la magnitudine limite dipende dall'ingrandimento?

Risposta: per il contrasto!

Una stella infatti è una sorgente puntiforme, e tale resta aumentando l'ingrandimento.
Il cielo invece è una sorgente estesa, il contrasto quindi aumenta all'aumentare dell'ingrandimento almeno fino a quando la stella non comincia ad apparire di diametro finito a causa del seeing o della diffrazione.

Del resto pensiamoci bene, e seguite il mio ragionamento di base:

ipotizziamo di avere un rifrattore APO da 100mm (trattiamoci bene sulle qualità delle lenti!) e puntiamo un ammasso aperto mediamente denso ed esteso, composto da circa 40 stelle ben visibili ad un binocolo da 10x50 …… immaginiamo di osservare l’ammasso a 40x, cosa vedremo?
Sicuramente vedremo tutte e le 40 stelle dell’ammasso con l’aggiunta di piccole stelline di fondo (e quindi magnitudine minore!) che prima al binocolo non scorgevamo!

Ora pensiamo di salire con gli ingrandimenti a ……. 80x, cosa vedremo?
Vedremo non più le 40 stelle dell’ammasso, ma ne vedremo magari 30 ma con un sottofondo di stelline più ricche!

Ultima ipotesi, immaginiamo di osservare l’ammasso a 140x , che risultato otterremmo? Sicuramente vedremo 20 delle stelle dell’ammasso, ma potremmo definire con sufficiente precisione buona parte di quelle stelline di fondo con una mag. molto più positiva!

Come mai? Eppure il diametro è sempre lo stesso! Dove sta l’inghippo?

Nessun inghippo, questo è il risultato naturale del lavoro di Schaefer e Blackwell, ci avevate mai pensato?

Eppure qualcuno potrebbe dire:

ma sul mio manuale di istruzioni riporta che il mio strumento da 8” arriva ad una magnitudine limite di +13.5?

quasi giusto… ma lo avete mai testato direttamente?

Cosa ci insegna l’esempio sopra descritto del 100mm?

la considerazione da fare quando si riportano le magnitudini limite, sarebbe di specificare sempre anche l'ingrandimento al quale è fatta l'osservazione, dal seeing e dalla luminanza del cielo ( il valore SQM)….. quindi una piccola tirata di orecchie ai fabbricanti!.

tornando a noi:
La vecchia formula della magnitudine limite diceva:

ml=mv + 5*log(D/p) con log in base 10

In questo modo il Log(D/p) rappresenta il guadagno di luce del telescopio, se la si applica ad un 127 mm con p=6 mm e mv =6 produce 12.7.

Tuttavia questa formula è sbagliata ( o non del tutto corretta!), come spiega bene Shaefer nell'articolo sopra citato….. L'errore sta nell'assumere che se un telescopio "guadagna" un fattore 100 in luce (5 magnitudini) allora si vedranno stelle di 5 magnitudini in più rispetto all'occhio nudo.
Questa cosa è vera solo se l'ingrandimento del telescopio è tale da produrre una pupilla di uscita uguale a p così che il fondo cielo abbia la stessa luminanza.

Tuttavia, aumentando l'ingrandimento il fondo cielo si scurisce e, dato che la visibilità delle stelle rispetta le stesse regole studiata da Blackwell (dipende dal contrasto) si riescono a raggiungere magnitudini limiti più alte (fino a circa 2 mv in più). Un 10 cm in condizioni ideali consente di raggiungere una mag. di circa 14.

Comunque la formula corretta (o meglio, quella più vicina alla realtà) è questa:

SB = 28.57 - 2.814LM + 0.3694LM^2 + 5 log (MAG fratto DIAM radice quadrata di t)

TLM = -22.81 + 1.792SB + 0.02949SB ^2 + 2.5 log ( DIAM^2 X t )


dove:

LM indica la magnitudine limite, MAG l'ingrandimento usato, DIAM il diametro del telescopio in mm, t il coefficiente di trasmissione (perdite) (si può omettere), SB è la brillanza del cielo ( SQM ), TLM è la magnitudine limite raggiunta

La prima formula tiene conto del fatto che il cielo aumentando l'ingrandimento si scurisce, la seconda utilizza il valore della brillanza del cielo appena trovata per dare una stima della magnitudine limite.

Ma siccome sono un moderatore buono e comprensivo, vi allego un’interessante link dove potrete calcolare semplicissimamente il vostro valore usando la forza di calcolo “bruta” dei computers (non ditelo a Zappalà! ;)):

http://www.cruxis.com/scope/limitingmagnitude.htm


questa discussione non vuole essere un punto di arrivo, bensì una base da cui partire tutti insieme con delle ottime riflessioni, anche io ho dovuto sfatare diversi falsi miti su questo calcolo.
Vorrei ringraziare i VERI professionisti che hanno contribuito decisamente a questo risultato, anche se magari non lo sapranno mai, e tutto il gruppo Tau per avermi dato l’input per questa riflessione… e soprattutto il mio prof di matematica che scoccio ogni volta ho dei dubbi matematici…..

Etruscastro

N.B. il post riporta citazioni tratte direttamente dal lavoro originale.

Lampo
18-01-2013, 10:51
Grande Etru, molto interessante sto articolone! Mò me lo rileggo con più attenzione perchè ci sono un pò di passaggi su cui bisogna riflettere un pò meglio...e anche l'ultimo link che hai postato devo riguardarmelo meglio, ci ho giocato un pochino e mi dà dei risultati sempre un pò troppo conservativi così a prima vista...

Bravo Etru!

etruscastro
18-01-2013, 10:58
grazie Lampo... aspetto le tue solite osservazioni intelligenti con interesse....
ripeto, io so sulla base degli esempi che ho scritto nell'articolo.... difficilmente vado oltre, ma se alcuni passaggi non si capiscono bene ragioniamoci tutti insieme perchè ho ancora delle riserve dettate (forse) da vecchie convinzioni....... sono pronto a migliorarmi insieme a voi!

Armando
18-01-2013, 11:27
Bravo ETrù!
io ho fatto un calcolo con il mio tele :254^2/5^2 = 254*254/5*5= 64516/25= 2580,64
Minchia quanta luce in + del mio occhio raccoglie il mio cannone
ora vorrei capire bene la formula della magnetudine in visuale del mio cannone con un seein medio
francamente non ci riesco
Antonio mi rifai tu il calcolo
presumo che riesco ad avere una dilatazione pupillare da 5mm il diametro lo scritto
cosa serve piu?
grazie.

Huniseth
18-01-2013, 12:10
Troppo facile ragazzi....

Riporto quanto letto sull'enciclopedia della Scienza e della Tecnica Monadori, probabilmente la migliore del periodo in cui facevano ancora enciclopedie..
Tutto bene, i calcoli sono ottimi, le formule giuste, le teorie centrate... ma alla fine di tutto non sono reali, ci sono molti fattori incalcolabili e soggettivi. Il principale è l'impossibilità di stabilire l'acutezza della capacità visiva delle persone, poi altri fattori legati alle lenti.
Diciamo quindi che abbiamo una buona traccia, un quadro generale, ma non esatto.

Armando
18-01-2013, 12:51
Hni si capisce che non ci si mette un cieco al telescopio
le lenti devono essere buoni e le condizioni meteo accettabili
Meno male che chiudi il discorso scrivendo così :Diciamo quindi che abbiamo una buona traccia, un quadro generale, ma non esatto
Hai perso solo pochi punti:biggrin:

etruscastro
18-01-2013, 13:23
Bravo ETrù!
io ho fatto un calcolo con il mio tele :254^2/5^2 = 254*254/5*5= 64516/25= 2580,64
Minchia quanta luce in + del mio occhio raccoglie il mio cannone
ora vorrei capire bene la formula della magnetudine in visuale del mio cannone con un seein medio
francamente non ci riesco
Antonio mi rifai tu il calcolo
presumo che riesco ad avere una dilatazione pupillare da 5mm il diametro lo scritto
cosa serve piu?
grazie.
rispondo a te e solo a te via MP...... non vorrei far passare questa discussione per delle richieste di calcoli! ;)

Armando
18-01-2013, 13:49
Grazie Galassie ora si vi vengo a trovare

Huniseth
18-01-2013, 16:30
Questo è lo stato dell'arte, anch'io ero convinto che certe formule o leggi dell'ottica fossero "assolute"

etruscastro
18-01-2013, 16:39
cosa c'è Huniseth... cosa c'è che non ti torna dall'inizio della discussione.....
qua si parla di magnitudine limite teorica.... quindi con la stragrande maggioranza dei casi, il valore che possiamo ottenere tenendo in considerazione tutte le variabile ci porta ad un valore massimo.... comunque difficilmente raggiungibile nella pratica....... altra cosa era se si fosse parlato di calcolo della magnitudine limite media!...... se ci fosse un parametro da migliorare parliamone, ma discreditare il lavoro (di professionisti tra l'altro) con cose supposte mi sembra esagerato!

daniel91gn
26-07-2013, 13:39
Grazie Etru! Penso che soprattutto per chi si sta avvicinando come me all'astronomia questo vademecum sia un manna.
Comunque tornando alla magnitudine limite.... Ho notato una cosa (piccola) che secondo me può rendere un poco più chiare le idee a chi ancora non ha dimestichezza con questi conti, correggetemi se sbaglio eh!

Questa formula:

ml = mv + 2.5 log (D/p)

E' la formula poco accurata per la magnitudine limite, e apparentemente dipende da due parametri: D e p.
Conoscendo però il calcolo della p (pupilla di uscita), si nota che p=D/I, dove I sono gli ingrandimenti, quindi riscrivendo si ottiene più semplicemente:

ml = mv + 2.5 log (I)

Il che trova riscontro anche con l'ingrandimento a occhio nudo, cioè 1X infatti essendo log(1)=0 si ha :

ml = mv + 0 = mv

Cioè la magnitudine limite a occhio nudo.

Si nota quindi che secondo questa formula "rozza", la magnitudine limite dipende ESCLUSIVAMENTE dall'Ingrandimento, che quindi esclude (apparentemente) completamente il diametro del telescopio concentrandosi sulle focali di telescopio e oculare.

Il problema è che gli ingrandimenti determinano luminosità e qualità dell'immagine in funzione della focale e del diametro (più luce entra meglio è!), quindi non è detto che ingrandendo per esempio a 1000x (con un 250mm per esempio) la luminosità sia ancora adeguata all'individuazione di stelle di magnitudine maggiore.
Ecco allora che arriva la seconda formula che tiene conto realmente sia degli ingrandimenti che del diametro.

Ho notato che usi i 7mm dell'occhio umano per pupilla di uscita, ma credo che il conto debba essere fatto con il reale fascio di luce uscente dall'oculare, quindi D/I.
Spero di non aver detto fesserie Etru, in un caso correggetemi che non voglio seminare confusione per niente ;)

etruscastro
26-07-2013, 14:18
Ho notato che usi i 7mm dell'occhio umano per pupilla di uscita, ma credo che il conto debba essere fatto con il reale fascio di luce uscente dall'oculare, quindi D/I.
Spero di non aver detto fesserie Etru, in un caso correggetemi che non voglio seminare confusione per niente ;)
ho portato l'esempio dei 7mm perchè è il valore massimo raggiungibile dall'occhio umano in perfette condizioni sia biologiche (vista di un giovane in perfette condizioni di salute) che locali (perfettamente buio), in realtà, come dicevo raggiungere i 5mm è già un successo.
comunque, se ho ben interpretato il tuo spunto, il problema di affidarci alla sola relazione P=D/I è già citato nel primo post:

Questa cosa è vera solo se l'ingrandimento del telescopio è tale da produrre una pupilla di uscita uguale a p così che il fondo cielo abbia la stessa luminanza.

rossostarter
10-05-2015, 13:55
aggiungo anni dopo una postilla ...mi ricordo di aver osservato estate 2013 con un rifrattore 102mm a 200x circa saturno vari satelliti tra cui giapeto e anche facilmente a max 10 gradi sopra un orizzonte fumoso e fin troppo luminoso...stellarium me lo dava a meno di 12,5 ...poi l estate scorsa col c6 osservando urano a piu di 30 gradi sull'orizzonte est in una zona in cui si vedono agevolmente ad occhio nudo tutte le stelle della cost dei pesci.. mi era parso di scorgere una o due stelline molto fioche nei dintorni del pianeta...altre stelle nn risultavano da stellarium passaggi ravvicinati di asteroidi neppure......dato che ero rimasto a un max di 12,7...nn ho indagato e neppure preso nessuna forma di misurazione giusto per avviare una minima verifica...a saperle le cose!!

COAT_HANGER
20-09-2018, 20:54
Vediamo come possiamo districarci in questi calcoli, la formula che regola il valore è questa:

ml = mv + 2.5 log (D/p)

dove ml sta per magnitudine limite, mv sta per magnitudine visuale, 2.5 è il logaritmo per la magnitudine, D sta per diametro e p sta per pupilla di uscita….

Buonasera,
Riapro per un chiarimento. In base al procedimento descritto la formula in altro è scorretta vero? Dovrebbe essere :

ml = mv + 2*log (D/p)

Dove log è in base 2,512 corretto?

Inoltre LM della nuova formula è questa ml?

Grazie

etruscastro
24-09-2018, 17:56
Buonasera,
Riapro per un chiarimento. In base al procedimento descritto la formula in altro è scorretta vero? Dovrebbe essere :

ml = mv + 2*log (D/p)

Dove log è in base 2,512 corretto?

Inoltre LM della nuova formula è questa ml?

Grazie
onestamente la formula la trovo scritta in diversi testi e l'ho riportata così come la vedi, anche se io farei riferimento principalmente a questo lavoro:


... ci siamo imbattuti sul lavoro di Bradley Shaefer e Blackwell ( qua il lavoro originale: http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1990PASP..102..212S (http://articles.adsabs.harvard.edu/full/1990PASP..102..212S) )...

COAT_HANGER
24-09-2018, 18:19
Ciao, ti scrivo in privato che forse è meglio.

Gimo85
30-09-2018, 12:51
Ho visto che il post è stato corretto dall'inizio, in realtà si possono applicare due formule (approssimate) equivalenti, perchè entrambe discendono dalla relazione di Pogson.


\Delta m = -2.5log\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}

diff.magnitudine = 2.5 volte il logaritmo decimale del rapporto tra luminosità apparenti

In questo modo se il rapporto tra luminosità apparenti è il magico 2.512, per le proprietà dei logaritmi lo si eleva alla 2.5 e si ottiene 10. Il logaritmo decimale di 10 è 1, che è appunto la differenza di magnitudine visuale tra due oggetti che hanno luminosità percepita il primo 2.512 volte maggiore del secondo.

La prima formula è in funzione del rapporto tra diametro del telescopio e massima estensione della pupilla umana ed esprime il guadagno di magnitudine che si può avere attraverso un telescopio, rispetto all'osservazione a occhio nudo.

guadagno= 5log\frac{Dtelescopio}{Dpupilla }

La seconda è in funzione dell'ingrandimento utilizzato, ammesso che il massimo fruibile sia 2.5 volte il diametro del telescopio, e che quindi la pupilla d'uscita sia 0.4 mm. E' sempre un guadagno di magnitudine.

guadagno= 2.5 log(I.max) dove il massimo ingrandimento utile è quello sopra, esprimibile con (\frac{D}{p.u.})

Alle due formule basta aggiungere la magnitudine visuale e si ottiene una stima del valore di magnitudine limite.

Entrambe le versioni sono affette da limiti di metodo in quanto sono formule approssimate:

nella prima diminuendo il diametro massimo della pupilla umana il guadagno di magnitudine aumenta, anche se il valore totale raggiunto verrà compensato dalla perdita di magnitudine visuale da aggiungere;
nella seconda si prevede un ingrandimento massimo teorico che in realtà è un concetto tirato per i capelli


Alcuni produttori di telescopi per istruire le loro schede informative utilizzano la più semplice

m. limite = 6.8 + 5 log (D) dove D è il diametro in cm del telescopio

ryo
10-06-2019, 10:29
Ciao, ho trovato tutto molto interessante, ma non mi è ben chiara la formula per SB.
L'origine dei singoli valori?
SB, poi, dovrebbe corrispondere alla brillanza del cielo (in magnitudini per secondi d'arco al quadrato) e, quindi al valore SQM, giusto?
Come mai non c'è perfetta corrispondenza tra la formula per SB riportata in questa discussione e quella per SQM riportata nell'immagine intitolata MPSASvsNELM.jpg nella discussione seguente?
( https://www.astronomia.com/forum/showthread.php?1957-Sqm&p=25962#post25962%20SQM )

Marcello

ryo
11-06-2019, 09:10
Allora...
Le formule:
SB = 28.57 - 2.814LM + 0.3694LM^2 + 5 log (MAG fratto DIAM radice quadrata di t)
TLM = -22.81 + 1.792SB + 0.02949SB ^2 + 2.5 log ( DIAM^2 X t )
Bmpas = 21,58 - 5 log (10(1,586 - (Nelm /5) -1)
Nelm = 7,93 - 5 log (10 (4,316 - (Bmpas /5)) +1)

Ho seguito le formule per i seguenti valori:
magnitudine limite a occhio nudo 6;
diametro telescopio 127;
ingrandimento 21,6;
pupilla di uscita 6mm;
diametro pupilla occhio 6mm.

I risultati che sono usciti sono i seguenti:
SB 12,752
TLM 10,7
Bmpsas 20,08
Nelm 5,55

Ho poi seguito le formule anche per questi altri valori:
magnitudine limite a occhio nudo 6;
diametro telescopio 127;
ingrandimento 100;
pupilla di uscita 1,27mm;
diametro pupilla occhio 6mm.

I risultati che sono usciti sono i seguenti:
SB 16,079
TLM 16,743
Bmpsas 20,08
Nelm 5,55

Ho seguito le formule correttamente? Vi trovate anche voi?

ryo
11-06-2019, 12:47
Rileggendo tutta la discussione, ho notato alcune cose che potrebbero creare un po' di confusione.
Non nel primo messaggio, ma in alcuni di quelli successivi, si riporta la "vecchia" formula come:
ML = MV + 2,5 log (D/p).
Questa formula è corretta, ma solo se intendiamo D e p non in maniera lineare (diametro) ma al quadrato:
ML = MV + 2,5 • log10 (D^2 / p^2).
In alternativa, invece, considerando D e p come diametri, è corretta quella :
ML = MV + 5 • log10 (D/p)

Quindi, anche usando gli ingrandimenti al posto di "(D/p)", bisogna usare quest'ultima.

etruscastro
11-06-2019, 13:25
ryo leggo ma ora non ho tempo di approfondire, perdonami...

ryo
11-06-2019, 13:33
Non ti devi minimamente preoccupare. E' un forum, non una chat istantanea!
Ho continuato a scrivere solo per cercare di rendere più chiara la mia domanda iniziale.
Marcello