Ma la densità critica varia nel tempo!?... Troppo strano!!

[DarknessLight]

È da un po' che ho un dubbio (forse stupido) su questo argomento.

Come sappiamo la geometria è piatta e si mantiene INVARIATA nel tempo.
E la geometria dipende dalla densità critica.
La densità critica, a differenza della geometria, VARIA nel tempo.

Ora, il dubbio sorge spontaneo. Se la geometria dipende dalla densità critica e se la densità critica varia nel tempo, allora anche la geometria dovrebbe variare... o sbaglio? (Ovviamente sbaglio ma non capisco cosa...)

Ci ho pensato su parecchio: se la densità critica influenza il valore di Omega-tot, e Omega-tot entra nell equazione di Friedmann per definire il valore della costante tricotomica di curvatura k, e k definisce la geometria... allora ovviamente se varia la densità critica varia anche Omega-tot, dunque k, dunque la geometria dello spazio-tempo.

Mi potete spiegare cosa sbaglio?

[Enrico Corsaro]

Come sappiamo la geometria è piatta e si mantiene INVARIATA nel tempo.
E la geometria dipende dalla densità critica.
La densità critica, a differenza della geometria, VARIA nel tempo.

Ora, il dubbio sorge spontaneo. Se la geometria dipende dalla densità critica e se la densità critica varia nel tempo, allora anche la geometria dovrebbe variare... o sbaglio? (Ovviamente sbaglio ma non capisco cosa...)

Ci ho pensato su parecchio: se la densità critica influenza il valore di Omega-tot, e Omega-tot entra nell equazione di Friedmann per definire il valore della costante tricotomica di curvatura k, e k definisce la geometria... allora ovviamente se varia la densità critica varia anche Omega-tot, dunque k, dunque la geometria dello spazio-tempo.

Mi potete spiegare cosa sbaglio?

Grazie della domanda Paolo! E' più che legittima.

Per capirlo riprendiamo un attimo l'Equazione di Friedmann

H(t)^2 + \frac{k}{a(t)^2} = \frac{8\pi G}{3} \rho_\mathrm{tot}(t)
dove H è costante di Hubble (in funzione del tempo), k è la costante di geometria (non è funzione del tempo), a il fattore di scala cosmico e dove \rho_\mathrm{tot}(t) = \rho_M(t) + \rho_{\Lambda}
cioè la somma di densità di energia di materia e di energia oscura (quest'ultima non è funzione del tempo!).

La densità critica è una densità fittizia, cioè si ricava di proposito imponendo dall'equazione di Friedmann che k = 0. Se infatti lo fai ottieni,
H(t)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho_\mathrm{c}
cioè la definizione di densità critica.

Quindi in altre parole la densità critica è la densità totale \rho_\mathrm{tot} nel caso di k = 0.

A questo punto, quando misuriamo \rho_\mathrm{tot} dai dati osservati e troviamo che essa coincide per 1 parte su 1000 al valore di \rho_c, da qui ricaviamo che deve essere k = 0.
Al variare del tempo k non può cambiare perchè così come varia \rho_\mathrm{tot}(t) varia in modo identico \rho_c (t), per definizione dall'equazione di Friedmann. In pratica \rho_c (t) e \rho_\mathrm{tot}(t) sono la stessa identica cosa, per il caso k = 0.

[DarknessLight]

Ok grazie... è un po' difficile... Almeno per me...
Ci rifletto un po' e poi ti faccio sapere;)

[DarknessLight]

Enrico Corsaro
va bene dire che la costante di hubble, il fattore di scala e la densità critica variano nel tempo in modo tale da mantenere sempre k = 1?

[Enrico Corsaro]

@Enrico Corsaro (http://www.astronomia.com/forum/member.php?u=2649)
va bene dire che la costante di hubble, il fattore di scala e la densità critica variano nel tempo in modo tale da mantenere k = 1?

No... è il bilancio totale di energia che è tale da rendere k = 0.
Il fattore di scala è dato invece dall'Equazione di Friedmann, è cioè una soluzione dell'equazione di Friedmann e dunque è una funzione delle componenti energetiche dell'Universo. La costante di Hubble è il fattore di scala diviso la sua derivata rispetto al tempo, ed è quindi anch'essa una funzione delle componenti energetiche dell'Universo.

[Enrico Corsaro]

Ti faccio anche un altro discorso che dovrebbe aiutare a capire.

Dimenticati di fattore scala e di costante di Hubble.

Considera l'Universo in un qualunque istante di tempo t.
In quel qualunque istante di tempo, ci sarà una certa densità totale di energia, e a questa automaticamente corrisponde il valore di densità critico che diventa identico alla densità totale di energia con la condizione k = 0.
Quindi in ogni istante di tempo puoi sempre definire un valore di densità critico tale che diventa uguale alla densità totale di energia per k = 0.

In parole povere, introduciamo il valore critico solo per normalizzare il valore di densità di energia totale, così da non portarci sempre dietro tutto il numeretto che cambia continuamente e le unità di misura annesse.
Facendo il rapporto \Omega = \rho_\mathrm{tot} / \rho_c , dobbiamo solo avere a che fare con numeri adimensionati normalizzati a 1.
Se \Omega che misuriamo dai dati ci ritorna come 1 allora k = 0, fine del discorso.

Quindi non focalizzarti troppo sul significato fisico della densità critica, è banalmente uno stratagemma algebrico per lavorare più comodamente con i valori numerici delle componenti energetiche.

[DarknessLight]

Ho scritto k = 1 ma volevo scrivere k = 0 :razz:

Per il resto... Mmmm :hm: mi sa che devo proprio rifletterci un po' sopra... c'è qualcosa che mi sfugge... non è molto semplice!

[Enrico Corsaro]

Ho scritto k = 1 ma volevo scrivere k = 0 :razz:
Si lo avevo capito, tranquillo!



Per il resto... Mmmm :hm: mi sa che devo proprio rifletterci un po' sopra... c'è qualcosa che mi sfugge... non è molto semplice!
OK, fammi sapere.

[Cyg X-1]

Buongiorno a tutti.

Visto che si parla del fattore k avrei un dubbio da esporre. Faccio un rapido ripasso: k rappresenta la curvatura dello spazio-tempo portando in conto, a seconda del suo valore, il fatto che l'energia cinetica (energia "centrifuga" che tende a far espandere l'univero) sia maggiore, uguale o minore di quella potenziale gravitazionale (energia "centripeta" che tende a far collassare l'universo.

Se k = 0 c'è equilibrio tra le due energie e la geometria è piatta, cioè euclidea (curvatura nulla)
Se k > 0 l'energia cinetica è minore di quella potenziale e la geometria è curva (curvatura positiva)
Se k < 0 l'energia cinetica è maggiore di quella potenziale e la geometria è curva (curvatura negativa)

Ora la mia domanda è la seguente: molto spesso ho letto che al parametro k competono solo tre valori, vale a dire 0, +1, -1. Perchè?

Il fatto che la densità di energia oscura non vari nel tempo è una conseguenza del modo in cui viene introdotta nell'equazione di Friedmann (sostanzialmente una costante). Ma la teoria cosa dice? I meccanismi teorici che rendono plausibile la sua esistenza vanno nella stessa direzione, ritengono cioè la densità indipendente dal tempo o si tratta solo di una semplificazione?

Grazie.

[Enrico Corsaro]

Visto che si parla del fattore k avrei un dubbio da esporre. Faccio un rapido ripasso: k rappresenta la curvatura dello spazio-tempo portando in conto, a seconda del suo valore, il fatto che l'energia cinetica (energia "centrifuga" che tende a far espandere l'univero) sia maggiore, uguale o minore di quella potenziale gravitazionale (energia "centripeta" che tende a far collassare l'universo.

Non parliamo di forza centripeta e centrifuga, questo tipo di forze non sono in gioco in questo meccanismo (non c'è di base una rotazione dell'Universo nel modello cosmologico, perchè se ci fosse stata avrebbe indotto moti vorticosi al suo interno caratterizzati dalla forza di Coriolis). Parliamo solo di bilancio tra forza gravitazionale e forza di espansione, legata adesso all'energia oscura.



Se k = 0 c'è equilibrio tra le due energie e la geometria è piatta, cioè euclidea (curvatura nulla)
Se k > 0 l'energia cinetica è minore di quella potenziale e la geometria è curva (curvatura positiva)
Se k < 0 l'energia cinetica è maggiore di quella potenziale e la geometria è curva (curvatura negativa)

Parlare di energia cinetica non è corretto. Non c'è di per sè una massa che si muove, è lo spazio-tempo l'entità in questione ad espandersi, il quale di per sè non è un oggetto dotato di massa. L'energia cinetica è associabile ad un moto effettivo di un corpo dotato di massa all'interno di uno spazio. Parliamo dunque solo di energia di espansione, legata all'energia oscura.



Ora la mia domanda è la seguente: molto spesso ho letto che al parametro k competono solo tre valori, vale a dire 0, +1, -1. Perchè?

Il parametro k ti da il tipo di sezione spaziale possibile nella metrica di Friedmann-Robertson-Walker. Matematicamente e geometricamente possiamo derivarne soltanto 3 differenti (con i valori che già conosci), in base alle condizioni energetiche del sistema.



Il fatto che la densità di energia oscura non vari nel tempo è una conseguenza del modo in cui viene introdotta nell'equazione di Friedmann (sostanzialmente una costante). Ma la teoria cosa dice? I meccanismi teorici che rendono plausibile la sua esistenza vanno nella stessa direzione, ritengono cioè la densità indipendente dal tempo o si tratta solo di una semplificazione?

Da un punto di vista matematico l'energia oscura è di fatto una costante additiva alle equazioni di campo di Einstein che permette di estendere l'insieme delle soluzioni possibili all'equazione cosmologica di Friedmann. Avendo introdotto il termine costante si è trovato che di fatto il modello rappresenta molto meglio le osservazioni di quanto non potesse fare senza la costante.
Da un punto di vista teorico le cose sono piuttosto problematiche. La costante cosmologica (intesa come positiva, come ricavato dai dati) è comunemente associata all'energia del vuoto, anche se non esiste ad oggi una teoria esaustiva che spieghi questo tipo di legame.
Il problema è che la teoria quantistica dei campi prevede un valore della costante cosmologica che è circa 10120 volte più grande di quello che invece è attualmente misurato dai dati. L'enorme piccolezza di questo valore sembrerebbe dovuta alla simmetria quasi perfetta che esisteva nell'Universo primordiale tra bosoni e fermioni, con una lievissima predominanza dei bosoni sui fermioni.
Si tratta allo stato attuale del più grave discrepanza in una predizione teorica nella storia della fisica, problema comunemente noto come problema della costante cosmologica, o del fine-tuning cosmologico. Allo stato attuale è anche uno dei problemi più grossi di tutto il modello cosmologico standard. Qualcosa insomma non torna, o da come la costante cosmologica sia stata introdotta nel modello, o da come essa sia legata all'energia del vuoto, o dalla stessa teoria quantistica dei campi che spiega il campo delle fluttuazioni quantistiche del vuoto.

[Cyg X-1]

Non parliamo di forza centripeta e centrifuga, questo tipo di forze non sono in gioco in questo meccanismo (non c'è di base una rotazione dell'Universo nel modello cosmologico, perchè se ci fosse stata avrebbe indotto moti vorticosi al suo interno caratterizzati dalla forza di Coriolis). Parliamo solo di bilancio tra forza gravitazionale e forza di espansione, legata adesso all'energia oscura.

Parlare di energia cinetica non è corretto. Non c'è di per sè una massa che si muove, è lo spazio-tempo l'entità in questione ad espandersi, il quale di per sè non è un oggetto dotato di massa. L'energia cinetica è associabile ad un moto effettivo di un corpo dotato di massa all'interno di uno spazio. Parliamo dunque solo di energia di espansione, legata all'energia oscura.

Si Enrico, so di aver fatto affermazioni improprie se non scorrette, tant'è che ho posto i termini tra virgolette. Ho utilizzato quei termini per rendere l'idea.

A parte questo, puoi darmi qualche informazione SEMPLIFICATA che mi faccia capire il significato fisico dei tre valori di k? In altri termini, k=+2 cosa significherebbe? Una curvatura più accentuata rispetto al k=+1? Perchè allora questa curvatura più accentuata sarebbe da scartare? L'accettabilità di un solo valore positivo per k (ovviamente il tema è simmetrico per i valori negativi) da quale vincolo è imposta?

[Enrico Corsaro]

Temo di essermi perso le virgolette, per questo ho voluto puntualizzare. Di base preferisco non fare analogie laddove possono fare confondere chi ci legge.

Allora k = -1, 0, e 1 sono i soli unici valori possibili che ti danno una soluzione analitica all'integrale che definisce la coordinata comovente di un fotone emesso da una determinata sorgente, secondo la metrica di Friedmann-Robertson-Walker. Questo integrale è fondamentale dunque nel calcolare le distanze percorse da un segnale e.m. in cosmologia. La distanza dipende sostanzialmente dal tipo di geometria in uso, e cioè da k.

Quindi detto in altre parole questo integrale, fondamentale da risolvere, ha soluzioni analitiche solo per i valori che ti ho descritto, +1, 0 e -1. Un valore più alto o più basso non esiste, nè implica qualcosa di più accentuato. Hai cioè solo 3 tipi di geometria possibili. Se la "curvatura" locale dello spazio tempo è più o meno forte, questo non implica che la geometria stia cambiando. Ad esempio se lo spazio-tempo ha in una certa zona una curvatura poco negativa, e in un'altra molto negativa, rimane comunque sempre uno spazio-tempo a geometria iperbolica. La curvatura locale vera e propria dello spazio-tempo (ad esempio in prossimità di un BH) è invece tipicamente espressa da altri parametri, come i tensori di Ricci e di Riemann, e non è da confondere con il valore di k, che può solo essere uno dei tre casi citati.

Quindi in generale possiamo solo individuare 3 tipi di geometria.
Di base usando il valore k = 0, ottieni dall'integrale una funzione lineare (da cui la geometria Euclidea).
Utilizzando k= -1 ottieni una funzione seno iperbolico, che esprime una geometria iperbolica.
Utilizzando k=+1 ottieni la funzione seno, corrispondente ad una geometria sferica.
Non hai dunque altri casi contemplabili. Quello che può variare è la curvatura locale dello spazio-tempo, ma questo non ti da altri valori di k, rimane sempre inquadrato dentro quella geometria fondamentale.

Fisicamente questo valore k si associa al bilancio tra budget energetico dovuto alla forza gravitazionale (attrattiva) e quello dovuto all'energia oscura. Una geometria chiusa implica, come tipo di soluzioni all'equazione di Friedmann, un universo che si espande fino ad un certo punto e poi inizia nuovamente a contrarsi. Quanto sia forte la curvatura invece ha un impatto su quanto rapido è il tempo che impiega l'universo ad arrivare al punto di arresto dell'espansione, e a ricollassare su se stesso.
Una geometria euclidea ed una iperbolica invece implicano espansione per un tempo indeterminato. Anche qui l'entità della curvatura ha un impatto su quanto rapidamente l'Universo si espande, ma non cambia nulla in termini di tipo di "destino" a cui esso andrà incontro.

[Cyg X-1]

Allora k = -1, 0, e 1 sono i soli unici valori possibili che ti danno una soluzione analitica all'integrale che definisce la coordinata comovente di un fotone emesso da una determinata sorgente, secondo la metrica di Friedmann-Robertson-Walker. Questo integrale è fondamentale dunque nel calcolare le distanze percorse da un segnale e.m. in cosmologia. La distanza dipende sostanzialmente dal tipo di geometria in uso, e cioè da k.

Quindi detto in altre parole questo integrale, fondamentale da risolvere, ha soluzioni analitiche solo per i valori che ti ho descritto, +1, 0 e -1. Un valore più alto o più basso non esiste, nè implica qualcosa di più accentuato. Hai cioè solo 3 tipi di geometria possibili.

Ah, ecco dove faccio confusione: k esprime QUALITATIVAMENTE e NON quantitativamente la curvatura!

Grazie Enrico.

[Enrico Corsaro]

Ah, ecco dove faccio confusione: k esprime QUALITATIVAMENTE e NON quantitativamente la curvatura!

Grazie Enrico.

Diciamo meglio che k esprime la geometria, e basta. Poi nell'ambito di una stessa geometria, la curvatura può avere una infinità di valori possibili, entro sempre i margini dettati dal tipo di geometria. Ad esempio una curvatura positiva non è certamente di una geometria iperbolica, e così via.

[Cyg X-1]

Diciamo meglio che k esprime la geometria, e basta. Poi nell'ambito di una stessa geometria, la curvatura può avere una infinità di valori possibili, entro sempre i margini dettati dal tipo di geometria. Ad esempio una curvatura positiva non è certamente di una geometria iperbolica, e così via.

Si si, bene, mi sono tolto un dubbio. Grazie.