Il modello cosmologico standard ΛCDM – Parte I: cos’è e come si ricava

• Omogeneità: il nostro punto di osservazione non è diverso, nè privilegiato rispetto a qualsiasi altro punto all’interno del nostro Universo.
• Isotropia: non esiste una direzione preferenziale nell’Universo, vale a dire che in qualsiasi direzione noi osserviamo, ciò che vediamo deve essere in linea di principio uguale.

Come intuibile, il Principio Cosmologico è una assunzione piuttosto forte e all’atto pratico ciò che si osserva non lo rispetta pienamente. Esistono infatti strutture cosmiche su larga scala (quali super ammassi di galassie e barriere) dislocate in punti ben precisi dell’Universo e che non lasciano dubbio al fatto che esso, se visto più in dettaglio, non è nè omogeneo nè isotropo. Comunque sia, diciamo che globalmente omogeneità ed isotropia possono essere una approsimazione piuttosto valida se si considerano scale di distanza sufficientemente grandi (ad esempio dell’ordine di 100 Mpc, ovvero intorno ai 300 milioni di anni luce), come risulta nel caso cosmologico.

Il secondo ingrediente è strettamente legato al Principio Cosmologico, e prende il nome di metrica. La metrica, definita in 4 dimensioni, di cui 3 spaziali ed una temporale, formalizza matematicamente e geometricamente i concetti di omogeneità ed isotropia e ci permette di descrivere la trama, o tessuto, formato dal cosiddetto spazio-tempo, cioè l’iper-spazio a 4 dimensioni di cui sopra. La metrica dunque ci permette di esprimere analiticamente la forma geometrica dello spazio-tempo presente all’interno del nostro Universo. Questo concetto però richiede una più attenta riflessione. Spesso infatti si fa confusione tra ciò che è forma fisica dell’Universo e ciò che è invece la sua geometria. Mentre da un lato la forma fisica dell’Universo è legata a ciò che visualizziamo e percepiamo direttamente, ed essa, cioè l’Universo stesso nel suo insieme, è assimilabile ad una sfera a 3 dimensioni (tre spaziali) che evolvono con il tempo, quella geometrica è di base un aspetto puramente astratto relativo a ciò che avviene dentro l’Universo stesso, e che ci dice come determinati fenomeni, come ad esempio la propagazione dei raggi luminosi, e la misura delle distanze, possano subire particolari effetti di distorsione proprio a causa di questa geometria, ed inoltre descriverci come l’Universo stesso evolverà nel tempo.

La metrica derivante dal Principio Cosmologico prende il nome di metrica di Robertson-Walker e descrive lo spazio-tempo in termini di due parametri:

• il fattore di scala cosmico a (t), il quale rappresenta il raggio dell’Universo al variare del tempo, quindi considerando l’Universo fisico come una sfera a 4 dimensioni.
• la costante tricotomica di curvatura k, detta tricotomica perchè può assumere solo tre possibili valori, k=+1 per una geometria sferica, ovvero uno spazio-tempo chiuso, k=0 per una geometria piana o Euclidea, ovvero uno spazio-tempo piatto e aperto, e k=-1 per una geometria iperbolica, ovvero aperta e divergente.

Dunque riassumendo, l’Universo stesso è assunto avere una forma (fisica) sferica, o meglio dire di iper-sfera, come diretta conseguenza del fatto che esso sia in espansione a partire dalle dimensioni molto ridotte che aveva in un remoto passato (l’analogia con un palloncino che gonfia), e perchè la forma sferica è quella più comune in natura poichè consente la condizione di minima energia del sistema (pensiamo ad esempio alle stelle, e ai pianeti). Seguendo il Principio Cosmologico, l’Universo è inoltre descritto al suo interno da uno spazio-tempo che ha una geometria formalizzata dalla metrica di Robertson-Walker, con tre diversi possibili casi, che vedremo di capire successivamente più in dettaglio. La metrica di Robertson-Walker, come vedremo meglio nel prossimo articolo, definisce inoltre il modo in cui i segnali elettromagnetici si propagano nello spazio-tempo, ed insieme al Principio Cosmologico costituisce la cosiddetta cosmografia, ovvero la base matematico-geometrica che è fondamento di diversi modelli cosmologici.

Introdotti questi aspetti di base, la domanda successiva è: come entra in gioco qui il modello cosmologico standard ΛCDM? Quanto visto fin’ora, come appena detto, è di carattere puramente geometrico. Come possiamo dunque includere il contributo dato dalla fisica e trovare il modello fisico che spieghi ciò che osserviamo nella realtà secondo la cosmologia standard? Per farlo è necessario ricavare la cosiddetta Equazione di Friedmann e per capirla a seguire faremo uso di qualche considerazione algebrica, ma pur sempre non complicata. Tale equazione descrive l’evoluzione temporale dell’Universo in funzione dei suoi costituenti, e fu ricavata nella prima forma da Alexander Friedmann nel 1922 come soluzione delle equazioni di $campo$ di Einstein della relatività generale. E’ bene specificare, pur non entrando nel merito dei calcoli, che le equazioni di $campo$ di Einstein sono delle particolari equazioni (dette tensoriali) che legano una determinata metrica dello spazio-tempo al $campo$ gravitazionale prodotto dalla presenza di massa. In particolare le equazioni di $campo$ di Einstein ci descrivono analiticamente come lo spazio-tempo si deforma e si distorce sotto l’effetto di un $campo$ gravitazionale.
L’equazione di Friedmann è in parole povere una  particolare espressione delle equazioni di $campo$ di Einstein per il caso specifico della $cosmologia$ basata sul Principio Cosmologico e la metrica di Robertson-Walker e con l’aggiunta di alcune condizioni di contorno tra cui una equazione di continuità che esprime essenzialmente la conservazione della massa (cioè il fatto che la massa non svanisce nel nulla e non può dunque variare la sua quantità al passare del tempo). E’ importante ricordare che l’equazione di Friedmann è una sola delle diverse possibili soluzioni delle equazioni di $campo$ di Einstein, ed è propriamente quella che dà origine alla $cosmologia$ standard, cioè la cosmologia definita del modello ΛCDM. Altre soluzioni possibili delle equazioni di $campo$ di Einstein danno luogo ad altri tipi di $cosmologia$ e di modelli cosmologici che però non affronteremo in questa sede. Questo ci fa capire come il modello cosmologico standard ΛCDM non sia di fatto l’unico possibile già sotto la stessa definizione di cosmografia, ma risulta essere solo uno fra tanti attualmente ricavati e anche utilizzati nella letteratura della $cosmologia$ stessa.

Ritornando al nostro discorso, adattando le equazioni di $campo$ di Einstein sullo spazio-tempo descritto dal Principio Cosmologico tramite la metrica di Robertson-Walker, e con l’aggiunta dell’equazione di continuità, ricaviamo l’equazione di Friedmann in una forma molto semplice data da

dove k è la costante di curvatura ed a è il fattore di scala cosmico, già introdotti prima, e H è la cosiddetta costante di Hubble, che formalmente si esprime, ad un istante t di tempo, come

dove al secondo membro compare il fattore di scala cosmico e la sua derivata prima rispetto al tempo, a puntato, che possiamo considerare come una velocità di espansione dell’Universo al variare del tempo. La $costante di Hubble$, come generalmente noto, ci fornisce la velocità di espansione dell’Universo per unità di distanza. Essa è di grande importanza nello studio dell’espansione dell’Universo e nella misura di distanze, e l’analisi di come essa varia in funzione del tempo di vita dell’Universo stesso ci fornisce informazioni dirette sul bilancio tra l’attrazione gravitazionale causata dalla materia e l’espansione accelerata provocata dal termine repulsivo dell’energia oscura. Ritorneremo sulla $costante di Hubble$ successivamente.

Il termine Ω_tot, (o in alternativa Ω_K = 1 – Ω_tot, detto termine di curvatura) che compare nell’equazione di Friedmann richiede una spiegazione più approfondita che vediamo di esporre a seguire. Per cominciare, abbiamo parlato inizialmente di percentuali dei costituenti dell’Universo, mostrando anche un tipico diagramma a torta che in maniera semplice mostra quale sia il bilancio di questi diversi conributi rispetto al totale. Ebbene, il termine Ω_tot rappresenta proprio questo totale energetico dell’Universo, ed essendo normalizzato per un particolare valore che vedremo fra poco, questo totale si aggira intorno al valore Ω_tot = 1, un numero senza unità fisiche, quindi adimensionato.
Ma da cosa è dato Ω_tot ? Esso è dato come Ω_tot = Ω_M + Ω_Λ + Ω_R, dove Ω_M è la densità relativa di energia data dalla materia (cioè dal totale di materia barionica e materia oscura), che corrisponde attualmente al sopra citato 30%  del totale, mentre Ω_Λ è  la densità relativa di energia oscura, con un valore di circa il 70% del totale. Il terzo termine legato alla radiazione, Ω_R (dove per radiazione si intendono le onde elettromagnetiche altamente energetiche ed anche generalmente i neutrini) non viene però considerato nel contesto attuale perchè talmente piccolo ad oggi da essere perfettamente trascurabile e da non giocare pertanto più alcun ruolo rilevante. Queste densità relative Ω sono dei semplici numeri (o se preferite delle percentuali), senza unità fisica, e sono ottenute dividendo le corrispondenti densità di materia, ρ_M, e di energia oscura, ρ_Λ, (e analogamente per la radiazione ρ_R) per un valore critico di densità totale, noto come densità critica dell’Universo, ρ_c, definita come

dove compaiono la costante di Hubble al tempo t e la costante di gravitazione G. Questa densità critica varia al passare del tempo, prendendo in considerazione il fatto che l’Universo si espande. Avremo dunque che Ω_M = ρ_M / ρ_c e Ω_Λ = ρ_Λ / ρ_c.
Ma come si ricava la densità critica? Per farlo dobbiamo ricollegarci a quanto detto prima riguardo alla costante di curvatura k. Per il caso particolare di k=0, ovvero di una geometria Euclidea (o piana) per lo spazio-tempo, e sostituendo k=0 all’equazione di Friedmann, ricaviamo proprio la definizione di densità critica che abbiamo dato. Dunque per dirla in altre parole, la densità critica è quel particolare valore di densità di energia per cui la geometria dello spazio-tempo diventa Euclidea. Questo valore viene preso di riferimento per riportare (per comodità) il budget totale di densità relativa di energia Ω_tot ad un valore prossimo ad 1, dando così luogo ai valori percentuali di Ω_M e Ω_Λ rispetto al totale dato da Ω_tot. La densità critica ha quindi solo un significato convenzionale, e non serve ad altro se non ad avere come riferimento unitario (cioè normalizzato) del budget energetico quello dell’Universo a geometria piana, che è il caso più semplice delle tre possibili geometrie consentite. A seconda della quantità totale di energia contenuta nell’Universo, cioè al valore di Ω_tot, infatti, la geometria dello spazio-tempo può cambiare, sempre secondo l’equazione di Friedmann. In particolare avremo che:

• se Ω_tot > 1, cioè il budget energetico supera il valore critico, la geometria sarà sferica (chiusa). Questo perchè per l’equazione di Friedmann si deve avere che k > 0.
• se 0 < Ω_tot < 1 invece il budget energetico non raggiunge il valore critico, e la geometria diventa iperbolica (aperta e divergente), perchè dall’equazione di Friedmann si ha che k < 0.
• se Ω_tot = 1 allora il budget energetico corrisponde esattamente a quello critico, e quindi per come abbiamo definito il valore critico, la geometria sarà esattamente quella Euclidea.

Il caso Ω_tot < 0 non è contemplato perchè sulla base di quanto osservato non ha senso considerare densità di energia negative. Il caso Ω_tot = 0 rappresenta un Universo completamente vuoto, e anche questo caso non viene preso in considerazione perchè non rappresenta la realtà, che sappiamo ci indica che almeno la materia e la radiazione che osserviamo esistono!

Quello che ci descrive l’equazione di Friedmann è pertanto l’andamento del fattore di scala cosmico a in funzione di queste componenti energetiche, e come le componenti energetiche a loro volta possono influenzare la geometria dello spazio-tempo, qui espressa semplicemente dalla costante k.

Passiamo adesso ad un problema differente, indipendente dal valore totale di Ω_tot. Come fanno le diverse componenti dell’Universo secondo il modello ΛCDM a variare in percentuale fra loro rispetto al totale Ω_tot nel corso tempo, e ad aver fatto in modo che il bilancio tra materia, radiazione, ed energia oscura sia passato da una condizione in cui dominavano materia e radiazione quando l’Universo era primordiale a ciò che invece si osserva ad oggi, cioè un Universo per buona parte dominato dall’energia oscura e in cui il contributo dato dalla radiazione è praticamente trascurabile? Per capirlo ci riferiamo al diagramma allegato e ritorniamo alla definizione di Ω_M e Ω_Λ, considerando per semplicità il rapporto di queste due componenti, Ω_M / Ω_Λ, ovvero il rapporto delle densità di energia di materia ed oscura, ρ_M / ρ_Λ. Il diagramma ci illustra come le varie componenti di densità di energia siano cambiate con il raffreddarsi dell’Universo, cioè con la sua temperatura (in alternativa analoga allo scorrere del tempo), la quale era molto elevata quando l’universo era primordiale, raggiungendo il valore massimo nell’istante di grande unificazione, cioè quando tutte le 4 forze fondamentali erano unificate.
Partiamo dal caso dell’energia oscura e facciamo alcune semplici considerazioni. Il termine di densità di energia oscura ρ_Λ è una costante per definizione, vale a dire che non cambia al passare del tempo, come si ricava ottenendo l’equazione di Friedmann, e per questo nel diagramma la vediamo rappresentata da una linea orizzontale. L’energia oscura dunque possiamo immaginarla come un $campo$ che permea tutto l’Universo e che si rigenera ovunque venga formato nuovo spazio a causa dell’espansione. La sua densità di energia rimane invariata anche se l’Universo si espande. Diverso il caso della densità di energia di materia ρ_M (e di quella di radiazione analogamente) che definiamo semplicemente come la quantità di energia di materia distribuita su un determinato volume. Poichè l’Universo è in espansione, un dato osservativo assolutamente chiaro ed imprescindibile e che non dipende da alcun modello, il suo volume aumenta al passare del tempo, facendo si che parallelamente la densità di energia di materia ρ_M diminuisca sempre di più, e per questo la vediamo rappresentata da una linea obliqua nel nostro diagramma, insieme alla densità di energia prodotta dalla radiazione, quest’ultima però in diminuzione perchè direttamente legata alla temperatura, anch’essa decrescente con il passare del tempo.
Quello che segue è che il rapporto ρ_M / ρ_Λ, inizialmente maggiore di 1 perchè l’Universo era estremamente denso e piccolo in dimensione, è adesso diventato minore di 1, perchè il volume si è espanso al punto tale che ρ_M non è più dominante rispetto al valore di ρ_Λ (nel diagramma ciò si verifica a partire da quando le due linee si incrociano, successivamente all’era della ricombinazione). Ecco che ad oggi ci troviamo in un Universo dominato da energia oscura.

Qual è la diretta conseguenza di un Universo dominato da energia oscura? Abbiamo detto che l’energia oscura gioca un ruolo opposto a quello della gravità (e questo è un dato ricavato dalle osservazioni), e pertanto ciò che si osserva è che l’espansione dell’Universo al giorno d’oggi è diventata accelerata, cioè la velocità dell’espansione, data da a puntato se ricordate quando abbiamo definito la costante di Hubble, aumenta al passare del tempo, ovvero la derivata seconda del fattore di scala cosmico a rispetto al tempo, detta a doppio puntato, o più semplicemente l’accelerazione dell’espansione dell’Universo, risulta essere oggi positiva. Questa scoperta ha recentemente fruttato il premio Nobel 2011 per la Fisica agli astronomi Saul Perlmutter, Brian Schmidt e Adam Riess. Per contro, quando in un lontano passato l’Universo era dominato da materia, la sua velocità di espansione diminuiva, a causa di una accelerazione negativa, o decelerazione che dir si voglia. Questo accadeva perchè la forza di gravità causata dalla percentuale maggiore di materia rispetto a quella di energia oscura, ha fatto si che l’Universo rallentasse la sua velocità di espansione, nel suo tentativo di arrestarla per iniziare a contrarsi. Si è comunque trattato solo di un breve periodo nella storia dell’Universo, fino a circa 340 000 anni dall’istante iniziale, cioè la cosiddetta epoca della ricombinazione che ha dato origine alla radiazione cosmica di fondo. Dunque l’evoluzione dell’espansione dell’Universo è intimamente legata al bilancio tra materia ed energia oscura, sulla base di quanto descritto con il diagramma.

Ma qual è invece la geometria dello spazio-tempo all’interno del nostro Universo e come si ricava? Può la geometria cambiare nel tempo così come ha fatto la velocità di espansione? Come sappiamo oggi che il contributo della materia corrisponde al 30% del totale mentre quello dell’energia oscura al rimanente 70%? Possiamo ricavare anche la costante di Hubble insieme ai costituenti energetici di questo modello?
Nel prossimo articolo vedremo di rispondere a queste domande e affrontare il problema da un punto di vista più pratico, per capire così come ricavare la geometria, le percentuali dei costituenti dell’Universo, e la $costante di Hubble$ partendo prima di tutto dalla cosmografia. Faremo quindi uso di una applicazione diretta del modello cosmologico standard che si avvale di un tipo di dato fondamentale che abbiamo a disposizione, le cosiddette candele standard come indicatori di distanza.