Coni di luce vagabondi

In questo articolo voglio farvi vedere come il famoso cono di luce si avvicina ed entra in buco nero.

Prima di tutto ribadisco un concetto che forse a qualcuno potrebbe essere sfuggito. Quando dico che un oggetto che “cade” in buco nero è costretto a superare la velocità della luce (anche se il buco nero è statico), non voglio certo dire che è la sua velocità intrinseca a superare quel valore (sarebbe impossibile!), ma che è lo spazio in cui entra a trascinarlo a velocità superiore. Come sapete, infatti, lo spazio può “correre” come e quanto vuole.

Immaginate un fiume che forma una cascata. Quando arrivate al bordo, per tanto che voi muoviate i remi, la barca sarà trascinata dalla corrente. Ne segue che, anche dentro a un buco nero, voi potreste teoricamente muovervi di vostra volontà, ma subireste la corrente e i vostri sforzi sarebbero ridicoli. Sembra una banalità, ma vale la pena rifletterci sopra. Ripeto: non siamo noi che andiamo più veloci della luce, ma è lo spazio che ci trascina con velocità maggiore.

Il cono di luce, come ben sapete, rappresenta ogni possibile futuro di un oggetto e quindi anche una sua eventuale caduta in un buco nero. Esso ha dei limiti invalicabili. In particolare, il percorso non può uscire dal cono e quindi l’oggetto non può andare oltre alla velocità della luce, anche quando si è all’interno del buco nero. E questo è molto importante per capire l’inversione di spazio e tempo.

Va bene… cominciamo!

Trovo il diagramma, mostrato in Fig. 1, molto semplice e istruttivo. Dice tanto con poche linee concrete e intuitive. Immaginiamo, come al solito, che lo spazio sia un piano (torniamo a essere un po’ egiziani). Su questo piano disegniamo una stella che sta per collassare. Ovviamente, non sarà una sfera, ma solo un cerchio a due dimensioni. Sia S al tempo t1. Il tempo scorre verso l’alto e lo spazio è il piano su cui giace la stella.

L’astro inizia a collassare e diminuisce il suo diametro, mantenendo la stessa massa. All’istante t2 la stella è ormai estremamente “concentrata”; ad esempio è nelle condizioni di stella di neutroni (SN). Al tempo t3, il nucleo che sta collassando raggiunge le dimensioni dell’orizzonte degli eventi (OE): può ormai considerarsi un buco nero (BN). Notate che l’orizzonte degli eventi può essere disegnato anche prima del collasso, dato che è un cerchio ipotetico che dipende solo dalla massa. Vi ricordate che anche la Terra e il Sole ne hanno uno? Benissimo.

Il tempo continua a scorrere e la stella si comprime ancora di più fino a diventare (Sing) una singolarità (un punto ad esempio). Da quel momento in poi il buco nero vero e proprio ha il suo futuro descritto da una linea. Facciamo bene attenzione che stiamo osservando il tutto nel sistema di riferimento di un osservatore ESTERNO, per il quale spazio e tempo non cambiano.

Vediamo, adesso, in Fig.2, come un  cono di luce CL (di un certo oggetto o particella o astronave) si trasforma entrando dentro l’orizzonte degli eventi disegnato precedentemente. A destra, in basso, è “normale”, soggetto solo all’espansione dello spazio-tempo che può essere trascurata nella zona ristretta vicina a un buco nero. Tempo e spazio hanno le direzioni della figura precedente.

A mano a mano che si avvicina all’orizzonte degli eventi, lo spazio e il tempo si deformano a causa della massa del buco nero. Per essere più preciso, dovrei anche cambiare l’angolo che spazio e tempo formano tra loro. Tuttavia, per la nostra descrizione semplificata, posso anche lasciare i due assi ortogonali tra loro.  La direzione della luce è quindi sempre indicata dalle rette inclinate di 45 gradi rispetto a spazio e tempo (ossia viaggia lungo i bordi del cono).

L’asse del cono si inclina sempre di più fino a che giunge all’orizzonte degli eventi. A quel punto il bordo temporale dell’orizzonte coincide con la retta che indica il movimento della luce. Dato che qualsiasi movimento intrinseco dell’oggetto deve stare all’interno del cono, l’unica cosa che può ancora uscire (o meglio coincidere con il bordo di OE) è la luce. Un attimo dopo, l’oggetto viene risucchiato all’interno dell’orizzonte: anche la luce non ha più alcuna  possibilità di uscita.

L’asse del cono continua a inclinarsi fino a raggiungere un angolo di novanta gradi rispetto a quello iniziale. E’ immediato realizzare che il tempo è diventato lo spazio e viceversa. L’oggetto che sta cadendo verso la singolarità, però, non si accorge di niente (si fa per dire) e può, teoricamente, spostarsi all’interno del cono di luce, ossia muoversi nel suo spazio (che nel sistema esterno è il tempo).

Se l’oggetto fosse un’astronave potrebbe anche  tentare qualche manovra, ma la freccia del tempo (quello nuovo) la trascinerebbe inesorabilmente verso la singolarità. L’inversione dello spazio con il tempo è relativa, quindi, a un sistema esterno. Per l’oggetto che è all’interno dell’orizzonte degli eventi non è cambiato niente: l’orologio di bordo scorre normalmente e tutto sembra uguale a prima, tranne che per l’effetto fisicamente mostruoso della spaghettificazione, ossia dell’allungamento di ogni corpo materiale a causa della forza mareale dovuta alla massa della singolarità.

Tuttavia la Fig. 2 nasconde un’anomalia. Non sarebbe, infatti, possibile disegnare il tragitto del cono di luce, in quanto l’orizzonte degli eventi rappresenta una discontinuità. Il sistema di riferimento esterno può essere utilizzato solo fino all’arrivo nell’orizzonte degli eventi. D’altra parte, non si vedrebbe niente, comunque!

Cosa vede veramente un osservatore esterno, che non subisce la deformazione spazio-temporale? Ce lo dice la Fig. 3. Potrebbe anche accorgersi che il cono di luce si sta deformando, ma non lo vedrebbe mai entrare all’interno dell’OE. Ci vorrebbe un tempo infinito per vedere il minimo spostamento dell’astronave ormai prossima all’orizzonte. Il suo orologio girerebbe inutilmente, mentre l’astronave apparirebbe fermarsi al bordo dell’orizzonte. Paura del capitano? Nemmeno per sogno, solo stranezze della deformazione temporale. Per dimostrare questo fatto basterebbe tenere conto delle formule che descrivono la dilatazione del tempo (ne abbiamo già parlato non molto tempo fa) all’aumentare della velocità.

Il cono di luce, nel frattempo, è realmente entrato all’interno dell’orizzonte e prosegue il suo viaggio a velocità crescente: lo spazio-tempo non ha problemi a superare quella della luce. Ricordiamo ancora che non è l’astronave che viaggia verso la singolarità, ma è lo spazio-tempo che la trascina, come cadendo da una cascata. Ovviamente, la relazione tra i due assi deve seguire una legge fisica descritta da formule complicate e non da quelle della fisica classica. Ho dovuto semplificare la situazione per far comprendere i concetti essenziali. Solo usando una metrica corretta la discontinuità tra prima e dopo l’orizzonte degli eventi si eliminerebbe. D’altra parte l’astronave non può effettuare un salto “temporale”.

Nelle condizioni della figura (se si potesse vedere all’interno del buco nero) si vedrebbe l’astronave arrivare da una direzione assurda (linea verde). Ma, ribadisco ancora, questa è solo una conseguenza per non aver usato la giusta metrica spazio-temporale.

Tanto per regalarvi uno spunto in più, ho disegnato un bell’anellino blu (più esattamente avrei dovuto disegnare un cilindretto). Chi ha voglia può divertirsi a inserire un nuovo orizzonte degli eventi e le traiettorie di Kerr…

Ragazzi miei… non si può avere proprio tutto senza introdurre una matematica tutt’altro che banale. Se vogliamo vedere una certa cosa dobbiamo sacrificarne un’altra. L’importante è capire lo scopo dell’approssimazione senza pretendere che tutto fili perfettamente liscio.

Forse ho proprio spremuto a limite le mie meningi. Mi sa che per un po’ i buchi neri aspetteranno…